Оператор электромагнитного тока с использованием правил Фейнмана

Вспомним, где это$\Gamma^\mu$происходит от. Если вы посмотрите на начало страницы 185 у Пескина, он представляет ее с помощью диаграммы

$\phantom{\qquad \qquad\qquad }$

The $\Gamma^\mu$это просто "капля" (т.е. эффективная вершина), что означает, что она представляет собой все , что происходит между входом электрона в вершину и выходом из нее (и взаимодействием с некоторым внешним$A_\mu$). На самом деле мы называем вершину$-ie\Gamma^\mu$сделать факторы$e$более чистый, чтобы иметь дело с.

Если мы, как обычно, прочитаем правила Фейнмана, то получим вклад в матричный элемент, равный

$$\bar{u}(p')(-ie \Gamma^\mu) u(p)$$

Но что такое$\Gamma^\mu$равно? Как бы мы его нашли? Ну, как мы уже сказали, мы знаем, что это сумма всего, что может произойти внутри «блоба». На языке диаграмм Фейнмана это означает, что это сумма всех диаграмм, которые вы можете построить, вставив только фотонный пропагатор. Причина, по которой нам разрешено вставлять только фотонные пропагаторы, не является чем-то глубоким, просто мы просто ограничили себя рассмотрением только этих возможных поправок.

Поэтому мы по крайней мере знаем, что$\Gamma^\mu$дан кем-то

$$-ie\Gamma^\mu = -ie\gamma^\mu + \mathcal{O}(e^3)$$

где порядок$e^3$член находится путем соединения входящей и исходящей линий с фотонным пропагатором (т. е. «вершинной поправкой»; также, если мы разделим фактор$e$с обеих сторон, тогда коррекция становится$\mathcal{O}(e^2)$, что принято делать).

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос напрямую, мы можем использовать диаграммы Фейнмана, потому что они, по сути, встроены в определение$\Gamma^\mu$, как сумма всех возможных вставок фотонного пропагатора в диаграмму древовидного уровня .