Базовая КЭД. Как получаются выражения сохраняющихся зарядов с помощью лестничных операторов?

Я не могу найти это в похожих вопросах, и мне, должно быть, не хватает чего-то очень простого, поскольку я не могу найти это ни в одном учебнике или онлайн-заметке: они просто пропускают отрывок.

Итак, из моих заметок к курсу у нас есть, например, сложное скалярное поле:

$$\phi(x) = \int \dfrac{d^3p}{(2\pi)^3} \dfrac{\sqrt{V}}{\sqrt{2E( \mathbf p)}} \left( a_{(+)} (\mathbf p ) e^{-ipx} + a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} \right)$$

$$\phi^{*}(x) = \int \dfrac{d^3p}{(2\pi)^3} \dfrac{\sqrt{V}}{\sqrt{2E( \mathbf p)}} \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} + a_{(-)} (\mathbf p ) e^{-ipx} \right)$$

и из бесплатного$S_0 = \int d^4x \left( \partial_\mu \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - m^2 \phi^*(x) \phi(x) \right)$с теоремой Нётер для U (1) мы получаем

$$J^\mu(x) = i \left(\phi^*(x) \partial^\mu\phi(x) - \partial^\mu \phi^* (x) \phi(x) \right)$$

$$Q = \int d^3x J^0(x)$$

ВОПРОС

Итак, как мне перейти от

$$Q = i \int d^3x \dfrac{d^3p \ d^3q}{(2\pi)^6} \dfrac{V}{2\sqrt{E( \mathbf p)E( \mathbf q)}} \cdot \\ \cdot \left[ \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} + a_{(-)} (\mathbf p ) e^{-ipx} \right) \ iE(\mathbf q) \left( - a_{(+)} (\mathbf q ) e^{-iqx} + a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf q ) e^{iqx} \right) + \\ - iE(\mathbf p) \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} - a_{(-)} (\mathbf p ) e^{-ipx} \right) \left( a_{(+)} (\mathbf q ) e^{-iqx} + a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf q ) e^{iqx} \right) \right]$$

к?

$$Q = \int d^3p \dfrac{V}{(2\pi)^3} \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) a_{(+)}(\mathbf p ) - a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf p ) a_{(-)}(\mathbf p ) \right)$$

По крайней мере, какие математические формулы я должен использовать?