Классический предел когерентного состояния в модели Джейнса Каммингса

Я имею дело с упражнением по модели Джейнса Каммингса в приближении резонансного одномодового излучения. Гамильтониан взаимодействия в приближении вращающейся волны равен

(Я) ЧАС я н т "=" г о + а + г * о − а †

где а и а † - операторы уничтожения и рождения для бозонного состояния, которое предполагается находящимся в когерентном состоянии | α ⟩ . о + и о − — повышающий и понижающий операторы для атома в полости.

Теперь мне нужно сделать некоторые вычисления, и для этого я получаю подсказку, что ЧАС я н т можно заменить ожидаемым значением

(II) ЧАС я н т → ЧАС с "=" ⟨ α | ЧАС я н т | α ⟩ "=" г о + α + г * о − α *

в классическом пределе | α | >> 1 .

Я хочу знать, почему это приближение гамильтониана оправдано (почему мы можем взять (II) вместо (I) для нашего гамильтониана) в этом пределе.

Мои мысли: С тех пор а | α ⟩ "=" α | α ⟩ , наш точный гамильтониан взаимодействия отличается от приближения только тем, что а † был заменен на а * . Это кажется не слишком надуманным, поскольку это всего лишь комплексно-сопряженное собственное значение, которое мы получаем, применяя оператор уничтожения к | α ⟩ . Тогда я думаю, что мы можем как-то утверждать, что, поскольку | α | >> 1 , оператор создания не сильно изменит когерентное состояние. Но я не могу придумать веский аргумент и математику.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Я думал, что, возможно, в классическом пределе стандартное отклонение α † можно пренебречь по сравнению со средним значением. Но если я не ошибся, у нас есть

(III) С Д α ( а † ) "=" ⟨ α | а † а † | α ⟩ − ⟨ α | а † | α ⟩ 2 "=" а * а * − ( а * ) 2 "=" 0 ,

независимо от значения | α | . Что еще больше меня смущает.

Что вы на самом деле пытаетесь вычислить? Неясно, когда можно было бы заменить гамильтониан конкретным матричным элементом, не зная контекста, в котором вы применяете гамильтониан.
Это потому, что дисперсия н ≡ | а | 2 является небольшой долей среднего в пределе н → ∞ .

Ответы (1)

С а | α ⟩ "=" α | α ⟩ для когерентного состояния следует, что

(1) ⟨ α | а | α ⟩ "=" α
путем нормализации и (как вы подозреваете) путем комплексного сопряжения:
(2) α * "=" ⟨ α | а | α ⟩ * "=" ⟨ α | а † | α ⟩
что верно для любого α . Состояние | α | ≫ 1 должен войти в другом месте, так как (1) и (2) являются точными , независимо от | α | .

Я немного уточнил вопрос. Я знаю, почему математическое ожидание равно выражению (II). Но мне интересно, почему мы можем использовать (II) вместо (I). Это должно включать классический предел, так как а † | α ⟩ не является а * | α ⟩ верно?
@любопытство нет, но суть в том ⟨ α | а † "=" α * ⟨ α | . Аппроксимация заключается в замене некоторых операторов их средними значениями, а не в том, как вычисляются средние значения.
Я знаю это. Я хочу знать, почему нам разрешено делать эту замену. Должен быть какой-то способ увидеть, что действие а † | α ⟩ → α * | α ⟩ в пределе | α | → ∞ .
Мне кажется, что классический предел является оправданием для этого приближения, но я не вижу связи.
@любопытство : а † | α ⟩ ≠ α * | α ⟩ в любом пределе. Когерентное состояние не является собственным состоянием а † , период. Взяв среднее значение, вы не выполняете «замену» комплекта, а вместо этого выполняете замену бюстгальтера. ⟨ α | а † → α * ⟨ α | . Это ключ: у вас никогда не было а † действующий на кет, но у вас он действует на лифчик; Чтобы «сгенерировать» бюстгальтер, нужно взять среднее значение.
Под заменой я подразумеваю замену гамильтониана нашей модели на физическую систему. Мы не используем точный гамильтониан для выражения эволюции системы во времени, а вместо этого используем ожидаемое значение. Это, конечно, не всегда уместный ход. Я хочу знать, почему это приближение имеет смысл в данном контексте. Почему это хорошее приближение в классическом пределе. (и я действительно думаю, что классический предел является оправданием приближения, поэтому я хочу увидеть связь)
Классический предел когерентного состояния в модели Джейнса Каммингса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v