Гамильтониан для маятника переменной длины

Этот вопрос взят из книги "Классическая динамика частиц и систем" - Марион, задача 7.24. Задача о маятнике, который приводится в движение, его длина меняется с постоянной скоростью.

$$\frac{dl}{dt} = - \alpha.$$ Читателю предлагается вычислить лагранжиан, гамильтониан и обсудить сохранение энергии. Вычисляя лагранжиан, получаем: $$L = T - U = \frac{1}{2}m(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2) + mgl\cos{\theta} = \frac{1}{2}m(\alpha^2 + l^2\dot{\theta}^2) + mgl\cos{\theta}.$$ Теперь мы можем найти обобщенные импульсы как для $\theta$и $l$: $$p_{\theta} = \frac{\partial L}{ \partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}$$ $$p_{l} = \frac{\partial L}{ \partial \dot{l}} = m\dot{l} = -m\alpha.$$ Теперь, когда у нас есть обобщенные импульсы, мы можем записать гамильтониан следующим образом: $$H = \sum_i p_i\dot{q_i} - L = \frac{p_{\theta}^2}{2m l^2} + \frac{p_{l}^2}{2m}- mgl\cos{\theta}.$$ Но, согласно книге, гамильтониан на самом деле равен: $$H = \sum_i p_i\dot{q_i} - L = \frac{p_{\theta}^2}{2m l^2} - \frac{p_{l}^2}{2m}- mgl\cos{\theta}.$$ Этот результат в основном игнорирует термин $p_l\dot{l}$. Почему?