Гамильтониан для лагранжиана со связью

Question

Гамильтониан для лагранжиана со связью

Фабио

Я имею дело со следующей лагранжевой плотностью
$л_{е м} "=" - \frac{1}{2} р ю^{2} {ты}^{2} + \frac{1}{2} \nabla ты : Σ : \nabla ты - \frac{1}{2} \nabla ф \cdot ϵ \cdot \nabla ф + \nabla ф \cdot п : \nabla ты$ $\mathscr{L}_{em}= -\frac{1}{2}\rho\omega^2 u^2 +\frac{1}{2}\nabla u:\Sigma :\nabla u-\frac{1}{2}\nabla\phi\cdot\epsilon\cdot\nabla\phi+\nabla\phi\cdot P:\nabla u$ где $\rho,\omega\in\mathbb{R}^+$ , $\Sigma_{ij,kl}=\Sigma_{ji,kl}=\Sigma_{ij,lk}=\Sigma_{kl,ij}$ , $\epsilon_{ij}=\epsilon_{ji}$ , $P_{ijk}=P_{ikj}$ , $\phi$ является скалярным полем и $u \in\mathbb{R}^3$ .

Мне нужно вычислить соответствующую плотность гамильтониана.

Если бы это было просто

л_{м} "=" - \frac{1}{2} р ю^{2} {ты}^{2} + \frac{1}{2} \nabla ты : Σ : \nabla ты

$\mathscr{L}_m=-\frac{1}{2}\rho\omega^2 u^2 +\frac{1}{2}\nabla u:\Sigma :\nabla u$

определяя импульс $\sigma_m=\Sigma:\nabla u$ , и с помощью преобразования Лежандра

ЧАС "=" п \cdot \nabla д (д, п) - л (д, п),

$\mathscr{H}=p\cdot\nabla q(q,p)-\mathscr{L}(q,p),$

где $q$ переменные поля и $p$ импульс, я получаю

{ЧАС}_{м} "=" \frac{1}{2} р ю^{2} {ты}^{2} + \frac{1}{2} о_{м} : Σ^{- 1} : о_{м} .

$\mathscr{H}_m=\frac{1}{2}\rho\omega^2 u^2+\frac{1}{2}\sigma_m:\Sigma^{-1} :\sigma_m.$

Также для

л_{е} "=" - \frac{1}{2} \nabla ф \cdot ϵ \cdot \nabla ф

$\mathscr{L}_e=-\frac{1}{2}\nabla\phi\cdot\epsilon\cdot\nabla\phi$

я могу получить

{ЧАС}_{е} "=" - \frac{1}{2} д_{е} \cdot ϵ^{- 1} \cdot д_{е}

$\mathscr{H}_e=-\frac{1}{2} d_e\cdot\epsilon^{-1}\cdot d_e$

с $d_e=-\varepsilon\cdot\nabla\phi$ .

А теперь как насчет плотности гамильтониана для $\mathscr{L}_{em}$ ? Могу ли я написать что-то вроде

{ЧАС}_{е м} "=" \frac{1}{2} р ю^{2} {ты}^{2} + \frac{1}{2} о_{м} : Σ^{- 1} : о_{м} - \frac{1}{2} д_{е} \cdot ϵ^{- 1} \cdot д_{е} \pm д_{е} \cdot Вопрос : о_{м} ?

$\mathscr{H}_{em}=\frac{1}{2}\rho\omega^2 u^2 +\frac{1}{2}\sigma_m:\Sigma^{-1}:\sigma_m -\frac{1}{2}d_e\cdot\epsilon^{-1}\cdot d_e\pm d_e\cdot Q:\sigma_m~?$

Или я должен полагаться на введение импульса

о_{е м} "=" Σ : \nabla ты + п^{Т} \cdot \nabla ф .

$\sigma_{em}=\Sigma:\nabla u+P^T\cdot\nabla\phi.$

д_{е м} "=" - ε \cdot \nabla ф + п : \nabla ты ?

$d_{em}=-\varepsilon\cdot\nabla\phi+P:\nabla u~ ?$

Кто такая матрица $Q$ ?

Что-то связано с этим сообщением Phys.SE: лагранжиан и гамильтониан взаимодействия ?

Я новичок в споре, но каждое предложение приветствуется.

Дану

Что делает ваш

:

$:$ -обозначение означает?

Фабио

скалярный продукт - это внутренний продукт, т.е.

u \cdot u = u_{i} u_{i}

$u\cdot u=u_i u_i$ , двойной точечный продукт — двойной скалярный продукт. Лагранжиан также может быть записан в обозначениях Эйнштейна как

L = - \frac{1}{2} ρ ω^{2} u_{i} u_{i} + \frac{1}{2} \partial_{i} u_{j} Σ_{i j h k} \partial_{h} u_{k} - \frac{1}{2} \partial_{i} ϕ ϵ_{i j} \partial_{j} ϕ + \partial_{i} ϕ P_{i j k} \partial_{j} u_{k}

$\mathscr{L}=-\frac{1}{2}\rho\omega^2 u_i u_i+\frac{1}{2}\partial_i u_j \Sigma_{ijhk}\partial_h u_k-\frac{1}{2}\partial_i\phi\epsilon_{ij}\partial_j\phi+\partial_i\phi P_{ijk}\partial_j u_k$ .

Дану

А переменные есть?

Фабио

u

$u$ и

ϕ

$\phi$ переменные,

Ответы (2)

Гамильтониан для лагранжиана со связью

Что делает ваш $:$ -обозначение означает?
скалярный продукт - это внутренний продукт, т.е. $u\cdot u=u_i u_i$ , двойной точечный продукт — двойной скалярный продукт. Лагранжиан также может быть записан в обозначениях Эйнштейна как $\mathscr{L}=-\frac{1}{2}\rho\omega^2 u_i u_i+\frac{1}{2}\partial_i u_j \Sigma_{ijhk}\partial_h u_k-\frac{1}{2}\partial_i\phi\epsilon_{ij}\partial_j\phi+\partial_i\phi P_{ijk}\partial_j u_k$ .

Qмеханик · Answer 1

Чтобы выполнить (возможно, сингулярное) преобразование Лежандра, необходимо иметь информацию о соответствующих ранговых условиях структурных констант $\rho$ , $\omega$ , $\Sigma_{ij,k\ell}$ , $\epsilon_{ij}$ и $P_{ijk}$ .

В этом ответе мы набросаем, как в принципе выполняется (возможно, сингулярное) преобразование Лежандра:

Мы будем использовать сокращенную запись ДеВитта , чтобы скрыть все пространственные производные для простоты.
Предположим, что лагранжева плотность
$\begin{matrix} (1) & л "=" л_{2} + л_{1} + л_{0} \end{matrix}$ $\tag{1}\mathcal{L}~=~\mathcal{L}_2+\mathcal{L}_1+\mathcal{L}_0$ является квадратичной функцией скоростей $\dot{\Phi}^A$ (=временные производные полей).
Мы можем для дальнейшего удобства переопределить поля
$\begin{matrix} (2) & Φ^{А} ⟶ Φ^{' А} "=" р^{А}_{Б} Φ^{Б} . \end{matrix}$ $\tag{2}\Phi^A~\longrightarrow ~\Phi^{\prime A}~=~R^A{}_B~\Phi^B.$
После возможного переопределения (2) полей
$\begin{matrix} (3) & Φ^{А} "=" {ф^{α}, \dots}, \end{matrix}$ $\tag{3}\Phi^A~=~\{\phi^{\alpha}, \ldots \},$ мы можем предположить, что $\mathcal{L}_2$ имеет форму $\begin{matrix} (4) & л_{2} "=" \frac{1}{2} {\dot{ф}}^{α} м_{α β} {\dot{ф}}^{β}, \end{matrix}$ $\tag{4} \mathcal{L}_2~=~\frac{1}{2}\dot{\phi}^{\alpha}m_{\alpha\beta}\dot{\phi}^{\beta},$ где симметричная матрица $m_{\alpha\beta}$ обратим.
Предположим для простоты, что $\mathcal{L}_1$ квадратичен по переменным $\Phi^B$ .
После возможного переопределения (2) полей
$\begin{matrix} (5) & Φ^{А} "=" {ф^{α}; г^{я}; λ^{а}}, \end{matrix}$ $\tag{5}\Phi^A~=~\{\phi^{\alpha};z^I; \lambda^a\},$ мы можем предположить, что $\mathcal{L}_1$ имеет форму $\begin{matrix} (6) & л_{1} "=" А_{α} {\dot{ф}}^{α} + \frac{1}{2} г^{я} ю_{я Дж} {\dot{г}}^{Дж}, \end{matrix}$ $\tag{6}\mathcal{L}_1~=~A_{\alpha}\dot{\phi}^{\alpha} +\frac{1}{2}z^I\omega_{IJ}\dot{z}^J,$ где матрица $\omega_{IJ}$ обратим, и $A_{\alpha}$ линейно зависит от полей $\Phi^B$ .
Определить импульсы
$\begin{matrix} (7) & π_{α} "=" \frac{\partial л}{\partial {\dot{ф}}^{α}} "=" м_{α β} {\dot{ф}}^{β} + А_{α} . \end{matrix}$ $\tag{7}\pi_{\alpha} ~:=~\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}} ~=~m_{\alpha\beta}\dot{\phi}^{\beta}+A_{\alpha}.$
Возможно, переопределив поля
$\begin{matrix} (8) & г^{я} ⟶ г^{' я} "=" р^{я}_{Дж} г^{Дж}, \end{matrix}$ $\tag{8}z^I~\longrightarrow ~z^{\prime I}~=~r^I{}_J~z^J,$ с $\begin{matrix} (9) & г^{я} "=" {д^{я}; п_{Дж}}, \end{matrix}$ $\tag{9}z^I~=~\{q^i;p_j\},$ и, возможно, отбрасывая производные по времени, мы можем предположить, что $\begin{matrix} (10) & \frac{1}{2} г^{я} ю_{я Дж} {\dot{г}}^{Дж} "=" п_{я} {\dot{д}}^{я} . \end{matrix}$ $\tag{10}\frac{1}{2}z^I\omega_{IJ}\dot{z}^J~=~p_i \dot{q}^i.$
Введите импульсы $\rho_b$ к вспомогательным переменным $\lambda^a$ .
Плотность гамильтониана становится
$\begin{matrix} (11) & ЧАС "=" \frac{1}{2} (π_{α} - А_{α}) (м^{- 1})^{α β} (π_{β} - А_{β}) - л_{0}, \end{matrix}$ $\tag{11} {\cal H}~=~\frac{1}{2}(\pi_{\alpha}-A_{\alpha})(m^{-1})^{\alpha\beta}(\pi_{\beta}-A_{\beta})-\mathcal{L}_0,$ ср. Метод Фаддеева -Жаккова . См. также, например, этот пост Phys.SE.
В гамильтоновой формулировке $\{\phi^{\alpha};\pi_{\beta}\}$ , $z^I =\{q^i;p_j\}$ и $\{\lambda^a;\rho_b\}$ являются каноническими переменными.

То, что вы объяснили, - это именно то, что я пытаюсь сделать, и я не могу объяснить/вычислить простым способом. Суть в инверсии матрицы $m$ что в моем случае (чтение по строкам) $m=[\Sigma,P^T,P,-\epsilon]$ . У меня нет другого термина, кроме $\sim u^2$ что в ваших обозначениях должно заканчиваться на $\mathcal{L}_0$ . Что я хотел бы сделать, так это «унаследовать» свободные результаты Лагранжа/Гамильтона и написать гамильтониан в случае взаимодействия, используя эти два термина и часть, обусловленную взаимодействием, т.е. то, что я набросал как $d_e\cdot Q:\sigma_m$ .
Я обновил ответ. Tl;dr: Не вычислять. Требуется больше входных данных.

Фабио · Answer 2

Благодаря процедуре, предложенной Qmechanic, я прояснился. Мне нужно просто инвертировать матрицу $m$ , так как имеет для импульсов

$\sigma_{em}=\Sigma :\nabla u+P^T\nabla \phi$

$d_{em}=P:\nabla u-\epsilon\cdot\nabla\phi$

или

$\left(\begin{array}{c}\sigma_{em}\\d\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}\Sigma & P^T\\ P & -\epsilon\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\nabla u\\\nabla\phi\end{array}\right)$ .

В моем случае матрица $m$ , имеет тензорные элементы, но с учетом симметрий для $\Sigma$ , $\epsilon$ и $P$ , его можно свести к матрице 9x9 $m'$ со скалярными записями, а вектор для «скоростей» теперь имеет всего 9 записей. Тогда дело в том, чтобы сделать вычисление.

Процедура, предложенная Qmechanic, является довольно общей, и я очень ценю его / ее предложение, спасибо!

Гамильтониан для лагранжиана со связью

Фабио

Дану

Фабио

Дану

Фабио

Ответы (2)

Qмеханик

Фабио

Qмеханик

Фабио

Канонический формализм в координатах светового конуса

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Построить вращательный гамильтониан на основе лагранжиана общего вида

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями

Гамильтониан для маятника переменной длины

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана