Построить вращательный гамильтониан на основе лагранжиана общего вида

Мне сказали, что можно построить вращательный гамильтониан на основе лагранжиана общего вида:$\mathcal{L} = \mathcal{L} (\vec{\Omega})$. Введя углы Эйлера, можно было бы переписать лагранжиан в терминах углов Эйлера и их производных:$\mathcal{L} = \mathcal{L} (\vec{e}, \dot{\vec{e}})$. Угловая скорость выражается через углы Эйлера следующим образом:

$$\vec{\Omega} = \begin{bmatrix} \sin(\theta) \sin(\psi) & \cos(\psi) & 0 \\ \sin(\theta) \cos(\psi) & - \sin(\psi) & 0 \\ \cos(\theta) & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix}.$$ (Вектор $\begin{bmatrix} \phi \\ \theta \\ \psi \end{bmatrix}$обозначается $\vec{e}$. ) Большая проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что угловая скорость зависит от общего вектора скорости ( $\dot{\vec{e}}$) линейным образом (линейным оператором $\mathbf{M}(\vec{e})$матрица которой представлена ​​выше), поэтому общий импульс $\vec{p_e} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\vec{e}}}$не является явной функцией общего вектора скорости( $\dot{\vec{e}}$). То есть теорема Донкина или преобразование Лежандра не могут быть применены, потому что общие компоненты скорости не могут быть явно записаны как функции $\vec{e}$и $\vec{p_e}$.