Канонический формализм в координатах светового конуса

Рассмотрим скалярную теорию поля

л "=" 1 2 ( ∂ ф ) 2 − В ( ф ) .
Я хочу понять формализм Гамильтона в координатах светового конуса. я выбираю конвенцию
Икс ± "=" 1 2 ( Икс 0 ± Икс 3 )
и получить
π ≡ ∂ л ∂ ( ∂ + ф ) "=" ∂ − ф
и следующий гамильтониан:
ЧАС "=" 1 2 ( ∇ ⊥ ф ) 2 + В ( ф ) .
Это не зависит от π и я получаю уравнение Гамильтона ∂ + ф "=" 0 , что неверно. Это приводит к следующему вопросу: что я сделал не так и как правильно поступить в этом случае. Конечно, моей конечной целью является квантование теории.

Замечание: я подозреваю, что моя проблема связана с тем, что существуют характеристические кривые этой теории, касающиеся гиперповерхности Икс + . Тем не менее, я надеюсь, что есть обходной путь.

Ответы (1)

Есть как минимум два подхода, дающих один и тот же результат:

  1. Анализ Дирака-Бергмана: существует ограничение второго рода

    (1) х   "="   π − ∂ − ф   ≈   0 ,
    что приводит к скобке Дирака (5).

  2. Метод Джекива-Фаддеева : Напомним, что Икс + есть время светового конуса, так что лагранжева плотность

    (2) л   "="   ∂ − ф   ∂ + ф − ЧАС , ЧАС   "="   1 2 ( ∂ ⊥ ф ) 2 + В ( ф ) ,
    находится уже в форме первого порядка. Симплектический потенциал одной формы может быть транскрибирован из кинетического члена в уравнении. (2):
    (3) ϑ ( Икс + )   "="   ∫ г Икс − г 2 Икс ⊥   ∂ − ф ( Икс )   г ф ( Икс ) ,
    где г обозначает внешнюю производную в бесконечном числе измерений. Тогда симплектическая двумерная форма
    ю ( Икс + )   "="   г ϑ ( Икс + )
    (4)   "="   1 2 ∫ г Икс − г 2 Икс ⊥ ∫ г у − г 2 у ⊥   ( − 2 ) дельта ′ ( Икс − − у − )   дельта 2 ( Икс ⊥ − у ⊥ )   г ф ( Икс ) ∧ г ф ( у ) .
    Одновременная скобка Дирака на фундаментальных полях является обратной матрицей матрицы для симплектической двумерной формы (4):
    (5) { ф ( Икс + , Икс − , Икс ⊥ ) , ф ( Икс + , у − , у ⊥ ) } Д Б   "="   − 1 4 с г н ( Икс − − у − ) дельта 2 ( Икс ⊥ − у ⊥ ) .
    Можно проверить, что уравнение Гамильтона
    (6) ∂ + ф ( Икс )   ≈   { ф ( Икс ) , ЧАС ( Икс + ) } Д Б , ЧАС ( Икс + )   "="   ∫ г Икс − г 2 Икс ⊥   ЧАС ( Икс ) ,
    воспроизводит уравнение Эйлера-Лагранжа (EL).

Я упустил «очевидный» факт, что мой импульс не зависит от положения, а система ограничена. Спасибо.
Канонический формализм в координатах светового конуса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v