Гармонический осциллятор: уравнение Гамильтона на собственные значения в координатном базисе

Ваше наблюдение действительно верно в следующем смысле. Рассмотрим матричные элементы оператора импульса:

$$\begin{align} \langle x \vert \hat{P} \vert y \rangle &= \int dp \langle x \vert \hat{P} \vert p \rangle \langle p \vert y \rangle \\ &= \int dp ~ p~ \langle x \vert p \rangle \langle p \vert y \rangle \\ &= \int \frac{dp}{2\pi} ~ p~ e^{ip(x-y)} \\ &= i \delta'(x-y), \end{align}$$

где$\delta'(x-y)$является обобщенной производной дельты Дирака. Итак, вы видите, что этот оператор почти диагональный, но на дельте Диаарка есть эта надоедливая производная. Однако, когда вы умножаете это на волновую функцию и интегрируете, вы обнаружите, что можете передать производную в волновую функцию и восстановить простую дельту Дирака.

Затем матричные элементы гамильтониана выглядят как

$$\begin{align} \langle x \vert \hat{H} \vert y \rangle &\propto \langle x \vert \hat{P}^2 \vert y \rangle \\ &\propto \int \frac{dp}{2\pi} ~ p^2~ e^{ip(x-y)} \\ &\propto i^2 \delta''(x-y). \end{align}$$

Используя это в своем последнем выражении:

$$\begin{align} \delta(x-y)E_n\phi_n(y) &= H(x, y)\phi_n(y)\\ &= \left(\frac{-\delta''(x-y)}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \delta(x-y)\right) \phi_n(y) \end{align}$$

Интегрируя свободную переменную ($x$):

$$\begin{align} E_n\phi_n(y) &= \int dx \delta(x-y)E_n\phi_n(y) \\ &= \int dx\left(\frac{-\delta''(x-y)}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \delta(x-y)\right) \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{-\delta''(x-y)}{2m} \phi_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{\delta'(x-y)}{2m} \phi'_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{-\delta(x-y)}{2m} \phi''_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\frac{-\partial^2_y}{2m} + \frac{m\omega^2 y^2}{2}\right) \phi_n(y) \end{align}$$