Обращается ли в нуль средний импульс для собственного состояния простого гармонического осциллятора?

Предположим, у нас есть простой гармонический осциллятор, давайте рассмотрим основное состояние, | 0 ⟩ и первое возбужденное состояние | 1 ⟩ .

⟨ 0 | п ^ | 0 ⟩ правильно ноль? Так как частица может двигаться либо влево, либо вправо, где п ^ является оператором импульса.

Аналогично, я думаю ⟨ 1 | п ^ | 1 ⟩ "=" 0

Но, ⟨ 0 | п ^ | 1 ⟩ отличен от нуля, верно? Так как это разные состояния. Кроме того, поскольку п ^ эрмитов, ⟨ 0 | п ^ | 1 ⟩ "=" ⟨ 1 | п ^ | 0 ⟩ , верно?

Почему бы вам не попробовать вычислить интеграл?
Еще лучше использовать повышающие и понижающие операторы и вычисления.
Или, что еще лучше, используйте инвариантность по четности гамильтониана :)

Ответы (1)

Ваша правильная интуиция проистекает из симметрии гамильтониана, называемой инвариантностью по четности, что означает, что он один и тот же при отражении (поэтому нет ничего, что отличало бы левое и правое). Попробуйте посмотреть на оператор четности, т.е. на унитарную операцию Π это занимает Икс → − Икс и п → − п . В частности, вы можете написать Π Икс Π "=" − Икс и Π п Π "=" − п . Вы также должны быть в состоянии показать, что:

1) Гамильтониан коммутирует с Π (с Π ЧАС Π "=" ЧАС ) и, следовательно, собственные состояния энергии | н ⟩ являются собственными состояниями Π .

2) Π 2 "=" 1 . Что это говорит вам о собственных значениях π н из Π ?

3) ⟨ н | п | н ⟩ "=" ⟨ н | Π 2 п Π 2 | н ⟩ "=" − π н 2 ⟨ н | п | н ⟩ . Почему это подразумевает, что ⟨ н | п | н ⟩ "=" 0 ?

Наконец, ваш последний пункт не следует из Отшельничества п . На самом деле у вас есть только более слабое состояние ⟨ 0 | п | 1 ⟩ "=" ( ⟨ 1 | п † | 0 ⟩ ) * "=" ⟨ 1 | п | 0 ⟩ * .

Извини, п ^ здесь имеется в виду импульс, а не оператор четности
@ user44840 Я понял вопрос, вы внимательно прочитали мой пост? Речь идет именно о матричных элементах оператора импульса , который п в моей нотации. (Я пишу оператор четности как Π , а его собственные значения равны Π | н ⟩ "=" π н | н ⟩ .) Вы можете получить ответы на многие ваши вопросы, а также понять, почему они таковы, рассмотрев симметрии гамильтониана. В частности, ваша интуиция о том, что частица «может двигаться влево или вправо», математически формализована в моем ответе.
почему Π Икс Π "=" − Икс ?
@ user44840 Ну, один из способов увидеть это - просто то, что это свойство на самом деле является частью математического определения Π . Физически это определение возникает потому, что Π представляет собой пространственное отражение, т.е. вы заменяете систему ее зеркальным отражением, где зеркало находится в начале координат Икс "=" 0 . Если вы отразите систему таким образом, любое измерение расстояния Икс в вашей старой системе координат преобразуется в значение − Икс в новой, отраженной системе координат. Точно так же импульс преобразуется как п "=" − я ℏ ∂ ∂ Икс → − я ℏ ∂ ∂ ( − Икс ) "=" − п .
@user44840 user44840 Один из способов реализовать это преобразование — просто взять любую волновую функцию. ψ ( Икс ) и замените его на ψ ( − Икс ) . Более абстрактно получается, что эту процедуру можно представить как унитарную операцию. Если вы изменяете состояния таким образом, вы должны применить соответствующее преобразование таких операторов, как Π п Π .
Я получаю операцию оператора четности. Но разве это не должно быть просто Π п "=" − п ?
Представьте, что вы хотите оценить ожидаемое значение оператора позиции в некотором состоянии с преобразованием по четности. | ψ ′ ⟩ "=" Π | ψ ⟩ . Это
⟨ ψ ′ | Икс ^ | ψ ′ ⟩ "=" ( ⟨ ψ | Π † ) Икс ^ ( Π | ψ ⟩ ) "=" ⟨ ψ | ( Π † Икс ^ Π ) | ψ ⟩ .
Таким образом, мы получаем тот же результат, если мы действуем слева на состояние, как Π | ψ ⟩ , или оставьте состояние таким же, но измените оператор положения на Π † Икс ^ Π .
Тем не менее, это не показывает, почему Π Икс Π "=" − Икс ?
@ user44840 Если мы действительно вычислим интегралы, мы обнаружим, что
( ⟨ ψ | Π † ) Икс ^ ( Π | ψ ⟩ ) "=" ∫ г Икс ψ * ( − Икс ) Икс ψ ( − Икс ) "=" − ∫ г Икс ψ * ( Икс ) Икс ψ ( Икс ) "=" ∫ г Икс ψ * ( Икс ) [ − Икс ] ψ ( Икс ) ,
после замены переменных из Икс к − Икс . Сравнивая это с тем, что я написал выше, вы видите, что Π † Икс Π "=" − Икс . Наконец, поскольку вы можете легко показать, что Π 2 "=" 1 , следует, что Π † "=" Π , с Π является унитарным. Доказательство того, что Π унитарный был бы утомительным в этом маленьком пространстве, но это не сложно.
Как вы перешли от второго к третьему шагу?
@ user44840 Изменены переменные из Икс → − Икс .
И ⟨ 0 | п ^ | 1 ⟩ "=" ⟨ 1 | п ^ | 0 ⟩ потому что первые два состояния SHM реальны
@ user44840 Правильно. Помните, что вы всегда можете умножить состояния | н ⟩ однако произвольными сложными фазами, и в этом случае ваше утверждение не обязательно верно. Общепринято (и даже удобно) определять состояния как реальные.
Значит, это означает, что средний импульс для любого собственного состояния HO равен 0?
Обращается ли в нуль средний импульс для собственного состояния простого гармонического осциллятора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v