Оператор эволюции для зависящего от времени гамильтониана

Когда я изучал QM, я работал только с независимыми от времени гамильтонианами. В этом случае унитарный оператор эволюции имеет вид

U ^ знак равно е − я ℏ ЧАС т
что следует из этого уравнения
я ℏ г г т U ^ знак равно ЧАС U ^ .
И в этом случае гамильтониан в картине Гейзенберга ( ЧАС ЧАС ) точно такой же, как гамильтониан в картине Шрёдингера ( ЧАС С ), т. е. коммутирует с U ^ . Теперь у меня есть гамильтониан, явно зависящий от времени. Конкретно,
ЧАС С знак равно п ^ 2 2 м + 1 2 м ю д ^ 2 − Ф 0 грех ⁡ ( ю 0 т ) д ^ .

И в моей задаче мне нужно вычислить ЧАС ЧАС (Гамильтониан на картинке Гейзенберга).

Я нашел это дифференциальное уравнение для U ^ (я упоминал об этом выше.) имеет в общем случае решение в виде (с U ( 0 ) знак равно 1 )

U ( т ) знак равно 1 + ξ ∫ 0 т ЧАС ( т ′ ) г т ′ + ξ 2 ∫ 0 т ЧАС ( т ′ ) г т ′ ∫ 0 т ′ ЧАС ( т ″ ) г т ″ + ξ 3 ∫ 0 т ЧАС ( т ′ ) г т ′ ∫ 0 т ′ ЧАС ( т ″ ) г т ″ ∫ 0 т ″ ЧАС ( т ‴ ) г т ‴ + . . .

Итак, мои вопросы:

  • Есть ли другие способы расчета U ^ , не могли бы дать ссылку или рассказать о них?
  • Если вы знаете форму решения для моего случая, пожалуйста, сообщите мне.
  • Если вы знаете какие-либо статьи или статьи на эту тему, пожалуйста, дайте мне ссылку на них.
Можете ли вы объяснить, что именно вы хотите сделать? Как правило, такого рода проблемы более решаемы в интерактивной картинке , созданной ЧАС 0 знак равно п 2 2 м + 1 2 м ю 2 д 2 , так как вы уже знаете собственные состояния ЧАС 0 . Затем вы можете рассчитать эволюцию наблюдаемых или состояний, используя ряды Дайсона , которые, по сути, и есть то, что вы рассчитали. Ваше возмущение является периодическим во времени, поэтому теория Флоке также может оказаться полезной.
Поскольку ваш гамильтониан является периодическим во времени, эта ссылка может быть полезной: en.wikipedia.org/wiki/Floquet_theory
я хочу рассчитать Е знак равно ⟨ ЧАС ^ ⟩ вовремя Т то есть ⟨ ψ ( т ) | ЧАС ^ | ψ ( т ) ⟩ или на картинке Гейзенберга ⟨ ψ | ЧАС ^ ( т ) | ψ ⟩ . Для этого мне нужен оператор эволюции для вычисления ЧАС ( т ) ^ , как я думаю.
Попробуйте прочитать о расширениях Magnus, Fer и Wilcox: sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157308004092 repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/32076/…
Подобная ситуация решается в этих конспектах лекций , которые могут оказаться полезными.
Наивный вопрос: в приведенном выше случае гамильтониана с периодическим приводом можно было просто провести т -интегрировать в операторе временной эволюции аналитически и избежать упорядочения по времени и т. д., правильно?

Ответы (1)

Да, вы на правильном пути. Сериал, который у вас есть, называется сериалом Дайсона .

Прежде всего обратите внимание, что н 'й термин выглядит как

U н знак равно ( − я ℏ ) н ∫ 0 т г т 1 ⋯ ∫ 0 т н − 1 г т н ЧАС ( т 1 ) ⋯ ЧАС ( т н )

Порядок гамильтонианов важен, так как мы работаем с операторами. Каждый член в ряду обладает хорошей симметрией, что позволяет нам написать:

U н знак равно ( − я ℏ ) н ∫ 0 т г т 1 ⋯ ∫ 0 т н − 1 г т н   ЧАС ( т 1 ) ⋯ ЧАС ( т н ) знак равно ( − я ℏ ) н н ! ∫ 0 т г т 1 ⋯ ∫ 0 т г т н Т [ ЧАС ( т 1 ) ⋯ ЧАС ( т н ) ]

Произошли две вещи: во-первых, мы «пересчитали», сделав верхние пределы равными т по всем интегралам. Это компенсируется фактором 1 н ! . Вам нужно будет убедить себя, зачем нужен этот фактор ;)

Во-вторых, этим изменением области интегрирования мы нарушаем порядок гамильтонианов в процессе. Вот где символ упорядочения времени Т По сути, этот оператор гарантирует, что гамильтонианы всегда упорядочены правильным образом. Например, для н знак равно 2 он работает как

Т [ ЧАС ( т 1 ) ЧАС ( т 2 ) ] знак равно { ЧАС ( т 1 ) ЧАС ( т 2 ) т 2 > т 1 ЧАС ( т 2 ) ЧАС ( т 1 ) т 2 < т 1

Собираем все, что у нас есть

U ( т , т ′ ) знак равно 1 + ∑ н знак равно 1 ∞ ( − я ℏ ) н н ! ∫ т ′ т г т 1 ⋯ ∫ т ′ т г т н Т [ ЧАС ( т 1 ) ⋯ ЧАС ( т н ) ]
Часто это обозначается символически как

U ( т , т ′ ) знак равно Т опыт ⁡ ( − я ℏ ∫ т ′ т ЧАС ( т 1 ) г т 1 )
Это обозначение понимается как представление степенного ряда.

Я думаю, вы хотели написать это для упорядочения времени: ЧАС ( т 2 ) ЧАС ( т 1 ) т 2 > т 1 а также ЧАС ( т 1 ) ЧАС ( т 2 ) т 2 < т 1 . Если я не ошибаюсь.
Оператор эволюции для зависящего от времени гамильтониана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v