Гармонический осциллятор

Позволять | 0 ⟩ , . . . — состояния гармонического осциллятора. Тогда сжатое состояние определялось как | ξ ⟩ "=" С ( ξ ) | 0 ⟩ , где С ( ξ ) "=" е 1 2 ( ξ ( а † 2 − а 2 ) ) , где а и а † — канонические операторы, связанные с проблемой гармонического осциллятора в КМ.

Теперь мы должны были показать, что С † ( ξ ) Икс С ( ξ ) "=" Икс е − ξ .

Подсказка говорит, что мы должны различать Ф ( ξ ) "=" С † ( ξ ) Икс С ( ξ ) и переформулируем это выражение через Ф . Наконец, должно быть дифференциальное уравнение, которое делает это.

Проблема в том, что, на мой взгляд, производная просто: Ф ′ ( ξ ) "=" 1 2 С † ( ξ ) ( а † 2 − а 2 ) Икс С ( ξ ) + 1 2 С † ( ξ ) Икс С ( ξ ) ( а 2 − а † 2 ) .

Теперь я не вижу, как поступить.

Если что-то непонятно, пожалуйста, дайте мне знать.

Ответы (1)

Один из вариантов - отметить, что С † ( ξ ) коммутирует с а † 2 − а 2 , и поэтому производная от первого может быть записана как

г г ξ С † ( ξ ) "=" ( а † 2 − а 2 ) С † ( ξ ) .
Это позволит вам написать Ф ′ ( ξ ) с точки зрения Ф ( ξ ) и а † 2 − а 2 .

Однако это не очень понятно как дифференциальное уравнение. Вместо этого вы должны сыграть в аналогичную игру с той, что справа, чтобы получить

Ф ′ ( ξ ) "=" 1 2 С † ( ξ ) [ ( а † 2 − а 2 ) Икс + Икс ( а 2 − а † 2 ) ] С ( ξ ) .
Часть в квадратных скобках — это коммутатор, который вы можете и должны вычислить; оно сводится, как и должно быть, к простому выражению, которое оставляет только функцию Ф ( ξ ) в правой части.

Наконец, обратите внимание, что если вы уже знаете, что Ф ( ξ ) как ожидается, будет е − ξ Икс , то вы знаете, чего можно ожидать Ф ′ ( ξ ) быть с точки зрения ξ и Икс и, следовательно, Ф ( ξ ) .

Гармонический осциллятор
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v