Доказательство того, что одномерный простой гармонический осциллятор невырожден?

I) Это зависит от того, насколько абстрактным хочет быть ОП. Скажем, мы отбрасываем любые ссылки на одномерную геометрию, а также на операторы положения и импульса.$\hat{q}$а также$\hat{p}$. Скажи, что мы знаем только это

$$\tag{1}\frac{\hat{H}}{\hbar\omega} ~:=~ \hat{N}+\nu{\bf 1}, \qquad\qquad \nu\in\mathbb{R},$$ $$\tag{2} \hat{N}~:=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a},$$ $$\tag{3} [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]~=~{\bf 1}, \qquad\qquad[{\bf 1}, \cdot]~=~0.$$

(Поскольку мы убрали все ссылки на геометрию, больше нет причин, по которым$\nu$должно быть половиной, поэтому мы обобщили его до произвольного действительного числа$\nu\in\mathbb{R}$.)

II) Затем предположим, что физические состояния живут в пространстве внутренних продуктов.$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )$, и что$V$образуют нетривиальное неприводимое унитарное представление алгебры Гейзенберга,

$$\tag{4} {\cal A}~:=~ \text{associative algebra generated by $\hat{a}$, $\hat{a}^{\dagger}$, and ${\bf 1}$}.$$

Спектр полуположительного оператора $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$всегда неотрицательна,

$$\tag{5} {\rm Spec}(\hat{N})~\subseteq~ [0,\infty[.$$

В частности, спектр${\rm Spec}(\hat{N})$ограничен снизу. Поскольку оператор$\hat{N}$коммутирует с гамильтонианом$\hat{H}$, мы можем использовать$\hat{N}$классифицировать физические состояния. Давайте набросаем, как проходит стандартный аргумент. Скажи это$|n_0\rangle\neq 0$является нормализованным собственным состоянием для$\hat{N}$с собственным значением$n_0\in[0,\infty[$. Мы можем использовать оператор опускающей лестницы (аннигиляции)$\hat{a}$повторно определить новые собственные состояния

$$\tag{6} |n_0- 1\rangle,\quad |n_0- 2\rangle, \quad\ldots$$

который, однако, может иметь нулевую норму. Поскольку спектр${\rm Spec}(\hat{N})$ограничена снизу, эта процедура опускания (6) должна останавливаться за конечное число шагов. Должно существовать целое число$m\in\mathbb{N}_0$так что возникает нулевая норма

$$\tag{7} \hat{a}|n_0 - m\rangle~=~0.$$

Предположить, что$m$является наименьшим из таких целых чисел. Норма

$$\tag{8} 0 ~=~ || ~\hat{a}|n_0 - m\rangle ~||^2 ~=~ \langle n_0 - m|\hat{N}|n_0 - m\rangle ~=~ ( n_0 - m) \underbrace{||~|n_0 - m\rangle~||^2}_{>0},$$

поэтому исходное собственное значение является целым числом

$$\tag{9} n_0 ~=~ m\in\mathbb{N}_0,$$

и экв. (7) становится

$$\tag{10} \hat{a}|0\rangle ~=~0,\qquad\qquad \langle 0 |0\rangle ~\neq~0.$$

Затем мы можем использовать оператор подъемной лестницы (создания).$\hat{a}^{\dagger}$повторно определить новые собственные состояния

$$\tag{11} |1\rangle,\quad |2\rangle,\quad \ldots.$$

С помощью аналогичного рассуждения о норме можно увидеть, что эта процедура повышения (11) не может в конце концов создать состояние с нулевой нормой, и, следовательно, она продолжается вечно/не останавливается. Индуктивно, на стадии$n\in\mathbb{N}_0$, норма остается отличной от нуля,

$$\tag{12} || ~\hat{a}^{\dagger}|n\rangle ~||^2 ~=~ \langle n|\hat{a}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle~=~ \langle n|(\hat{N}+1)|n\rangle ~=~ (n+1) ~\langle n|n\rangle~>~0.$$

Так$V$содержит хотя бы одну полную копию стандартного пространства Фока. С другой стороны, по предположению о неприводимости векторное пространство$V$не может быть больше и$V$следовательно, является стандартным пространством Фока (с точностью до изоморфизма).

III) Наконец, если$V$не является неприводимым, то$V$может быть прямой суммой нескольких фоковских пространств. В последнем случае энергетический уровень основного состояния вырожден.

Каждая одномерная потенциальная система имеет уникальный вакуум, поскольку он является минимумом следующего функционала

$$\int |\psi'|^2 + V(x) |\psi|^2 dx$$

Что минимизируется реальной положительной (безузловой) волновой функцией. Если есть два разных минимума (если есть вырождение), то линейная комбинация двух волновых функций имеет узел, а это несовместимо с регулярным потенциалом.

Единственный способ иметь вырожденные основные состояния (или два отдельных независимых основных состояния) - это чтобы потенциал V имел бесконечную твердую стенку, разделяющую разные области. В противном случае волновая функция основного состояния везде отлична от нуля, и приведенный выше аргумент линейной комбинации/узла работает.

Для гармонического осциллятора это немного более тривиально доказать, чем этот общий материал, потому что основное состояние аннулируется оператором аннигиляции$x+ip$, и это дифференциальное уравнение первого порядка с ровно одним решением с точностью до масштабирования, которое является гауссианом основного состояния.