Генераторы группы диффеоморфизмов

Думайте о бесконечно малом Diff как о переводе, где сдвиг зависит от пространства,$x^\mu\rightarrow x^\mu+\epsilon^\mu(x)$. Теперь вы понимаете, что генераторы$L_\epsilon=\epsilon^\nu(x)\partial_\nu$с$L_\epsilon x^\mu=\epsilon^\mu(x)$. Они образуют бесконечное пространство, так как$\epsilon^\mu(x)$- функция, которую можно разложить по бесконечному числу постоянных параметров, заданных производной от$\epsilon$в ноль,$\epsilon^\mu(x)=\sum_n x^{\nu_1}\cdot x^{\nu_n} \partial^n_{\nu_1\ldots \nu_n}\epsilon^\mu(x=0)/n!$. Таким образом, основой генераторов будет

Формально говоря, для данного (дифференцируемого, конечномерного) многообразия $M$, то (бесконечномерная) группа Ли (глобально определенных) диффеоморфизмов ( с композицией$\circ$как структура группы) имеет множество$\Gamma(TM)$( глобально определенных, дифференцируемых) векторных полей как соответствующие алгебры Ли .

Эта (бесконечномерная) алгебра Ли$\Gamma(TM)$наделен обычной скобкой Ли векторных полей $[\cdot,\cdot]$. Элементы (базиса) алгебры Ли часто называют образующими.

Чтобы добавить к ответу Qmechanic и ответу TwoBs и ответу «... что, черт возьми, тогда h? Любая произвольная функция?»:$h$довольно произвольно. Обычно считается, что это по крайней мере класс дифференцируемости$C^1$(все первые производные непрерывны), так что скобка Ли векторных полей определяется, как в ответе Qmechanic. Вы должны предположить, что это класс$C^\infty$(«гладкие», т.е. существуют производные всех порядков) в комплект$\Gamma(TM)$(обозначение, как в ответе Qmechanic) на основе, которую определил для вас ответ TwoBs. Точные условия зависят от приложения, но$C^2$даст вам возможность правильно определить тензор кривизны и, следовательно, сделать уравнения поля Эйнштейна значимыми, например, в ОТО.