Вариация действия с векторами Киллинга

Позволять ты м → ты м + д д т к м .

Как С "=" м ∫ д т − г м н ты м ты н перейти к первому порядку при этом преобразовании, если к является вектором Киллинга?

Моя попытка:
использование д д т к м "=" ( ∇ л к м ) ты л , Я думал

С ′ "=" м ∫ д т − г м н ( ты м + д д т к м ) ( ты н + д д т к н ) "=" м ∫ д т − г м н ( ты м ты н + ( ∇ л к м ) ты л ты н + ( ∇ л к н ) ты л ты м )
Тогда я думаю, что могу использовать ∇ ( л к м ) "=" 0 показать, что С ′ "=" С . Но как? Каким будет следующий шаг?

Ответы (1)

ПОДСКАЗКА: (надеюсь)

Итак, я думаю, что вы делаете следующее: начните с умножения метрического тензора на последние два члена, чтобы получить следующее выражение (очевидно, это под квадратным корнем, и есть еще один термин. Однако я опустил для ясности)

( ∇ л г м н к м ) ты л ты н + ( ∇ л г м н к н ) ты л ты м .

Затем я свяжу метрический тензор с вектором Киллинга, чтобы получить

( ∇ л к н ) ты л ты н + ( ∇ л к м ) ты л ты м .

Наконец, изменение л индекс в обоих выражениях, мы можем использовать уравнение Киллинга

∇ мю к ν + ∇ ν к мю ≡ 0 ,

и оттуда вы должны быть в состоянии показать С "=" С ′ .

Что вы подразумеваете под "аналогичной операцией на л индекс"?
Так что я имею в виду, изменить л индекс, как его повторяется. Я немного обновил фразу в ответе.
Вариация действия с векторами Киллинга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v