Как свойства группы Ли (представленной в виде многообразия) проявляются в метрическом тензоре этого многообразия?

Question

Как свойства группы Ли (представленной в виде многообразия) проявляются в метрическом тензоре этого многообразия?

Р. Ранкин

Я знаю, что это математический вопрос; однако физики, скорее всего, знакомы с тем, о чем я спрашиваю (к тому же я напрямую пытаюсь использовать это в контексте общей теории относительности).

Возможно, я изначально сформулировал этот вопрос несколько наоборот. Учитывая некоторую метрику, я, по сути, пытаюсь выяснить, как вы можете восстановить свойства группы, связанные с этой метрикой.

Я предполагаю, что тензор локально соответствует свойствам алгебры Ли, соответствующей группе, в которую наш тензор попадает топологически, однако мне неясно, как именно это будет проявляться.

Моя первая мысль — начать с разложения метрики на гамма-матрицы. Как известно, можно разложить метрику $g_{\mu\nu}$ в гамма-матрицы $\gamma_{\mu}$ так что:

я г_{мю ν} "=" \frac{1}{2} (γ_{мю} γ_{ν} + γ_{ν} γ_{мю}) "=" \frac{1}{2} {γ_{мю}, γ_{ν}}

$Ig_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\right)=\frac{1}{2}\left\{ \gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\right\}$

Где I — единичная матрица. Все это довольно стандартно (обратите внимание, что я НЕ использую рамки тетрады/вербейна, поэтому это обобщенные гамма-матрицы).

Для метрики Минковского $R^{3,1}$ (обозначается $\eta_{\mu\nu}$ ) коммутатор гамма-матриц

о_{мю ν} "=" \frac{1}{2} (γ_{мю} γ_{ν} - γ_{ν} γ_{мю}) "=" \frac{1}{2} [γ_{мю}, γ_{ν}]

$\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\right)=\frac{1}{2}\left[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\right]$

оказываются инфинитезимальными образующими преобразований Лоренца (т. е. элементами групповой алгебры). В этом случае это также оказывается группой Ли $O(3,1)$ связанный с пространством Минковского

Учитывая билинейную форму, связанную с метрикой Минковского, соответствующая группа следует непосредственно из теории .... Подходящей группой является O (3,1), в этом контексте называемая группой Лоренца. Космос Минковского-Википедия

Их, в свою очередь, можно возвести в степень, чтобы сформировать элементы группы Лоренца (если я правильно помню?):

Т_{ν} "=" е Икс п (θ^{мю} о_{мю ν})

$T_{\nu}=exp(\theta^{\mu}\sigma_{\mu\nu})$

Итак, для пространства Минковского мы восстановили групповые свойства многообразия из изучения свойств метрического тензора (точнее, его разложения).

Как насчет $SU(2)$ (представленный как многообразие 3-сферы) или метрика, которая является частью более общей группы Ли? Кто-нибудь знает, сохраняет ли эти свойства метрический тензор? Я надеялся использовать это, чтобы решить некоторые очень забавные проблемы, над которыми я работал.

В конечном итоге я пытаюсь применить это к конкретному случаю компактных произведений группы Ли, а именно $SU(2)xU(1)$ . Согласно с. комментария арфы ниже этого достаточно, чтобы обеспечить биинвариантную метрику (хотя я, честно говоря, не уверен). Пытаясь ответить на комментарии ниже, я попытаюсь проиллюстрировать то, что я делал:

я просто сосредоточусь на $SU(2)$ на момент. Из теоремы Питера-Вейля мы знаем, что:

л^{2} (С^{3}) "=" л^{2} (С U (2))

$L^{2}(S^{3})=L^{2}(SU(2))$

Что позволяет нам представлять объекты на трех сферах в терминах неприводимых представлений $SU(2)$ в размерности = 3 (это просто обобщение разложения ряда Фурье на компактные группы).

Таким образом, наша метрика может быть представлена тензорными гармониками на трех сферах:

г_{мю ν} "=" \sum_{к, л, м}^{\infty} А^{к л м} Д_{мю ν}^{к л м}

$g_{\mu\nu}=\sum_{k,l,m}^{\infty}A^{klm}Y_{\mu\nu}^{klm}$

Это создает впечатление, что любая метрика, гомеоморфная (непрерывной деформации ) $S^3$ представляется суммой взвешенных неприводимых представлений $SU(2)$ . Подобная ситуация обсуждается здесь 4-я страница 3-й абзац

Таким образом, я все еще ожидаю, что групповая структура $SU(2)$ играть центральную роль в свойствах метрического тензора (например, в упомянутом выше разложении гамма-матрицы). Все, что я могу понять, это то, что для общей метрики, гомеоморфной $S^3$ каждая гамма-матрица на самом деле будет суммой различных повторений, соответствующих ее расширению серии.

Может, я слишком запутался в этом?

ПРИМЕЧАНИЕ. Я только начинаю более глубоко знакомиться с теорией групп (давно пора). Я понимаю, что гамма-матрицы образуют алгебру Клиффорда, но я действительно не дошел до того, как это связано с какими-либо соответствующими группами Ли.

Будем очень признательны за любой ответ или направление к книге, посвященной этой теме.

острый

Что это за

γ $\gamma$ матрицы, действующие на алгебре Ли вашей (произвольной) группы Ли? Или вы здесь явно говорите о группе Лоренца?

Бенце Рашко

Я недостаточно знаю эту тему, чтобы дать ответ, но отмечу, что, поскольку вы можете поместить любую метрику в группу Ли, метрика на самом деле не даст вам никаких полезных отношений. Однако биинвариантные метрики несут полезную информацию. Например, риманово экспоненциальное отображение и экспоненциальное отображение Ли совпадают. Би-инвариантные метрики также индуцируются трансляциями из скалярного произведения на алгебре Ли. Если ваша группа Ли компактна, то так называемая форма Киллинга-Картана невырождена и играет роль такого скалярного произведения.

Р. Ранкин

@s.harp Обобщенные гамма-матрицы — это любые матрицы, удовлетворяющие антикоммутационному соотношению (уравнение 1).

Р. Ранкин

@Uldreth Конечно, я не могу поставить НИКАКОЙ показатель группе Ли? Поскольку группы Ли по определению являются гладкими многообразиями, рассмотрим пространство, которое является единичной трехсферой (которая является многообразием

СU( 2 ) $SU(2)$ ), выбор метрики строго ограничен только выбором системы координат. спасибо за вклад, я посмотрю, должны ли мои показатели быть би-инвариантными

Хавьер

Выбор метрики не так сильно ограничен. Существует множество римановых многообразий, которые топологически являются сферой.

острый

Вы можете поместить любое скалярное произведение в алгебру Ли, а затем перенести его на все другие касательные пространства, чтобы получить левоинвариантную метрику. Основной вопрос, представляющий интерес в отношении метрик на группах Ли, заключается в том, допускает ли группа Ли биинвариантную метрику. Я считаю, что это так только в том случае, если вы можете разложить алгебру Ли в виде

$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{a}$ где

$\mathfrak{h}$ имеет компактный тип

$\mathfrak{a}$ является абелевой.

Р. Ранкин

@Javier Есть, но все они могут быть представлены ультрасферическими гармониками, которые сами по себе являются неприводимыми представлениями SU (2) в d = 3 (по теореме Питера-Вейля). Или я неправильно интерпретирую

Р. Ранкин

@ Хавьер Я переформулировал вопрос, надеюсь, это немного прояснит.

Хавьер

Я не уверен, как ответить на ваш вопрос, но, глядя на ваш пример, я думаю, что вы можете быть сбиты с толку. Пространство Минковского — это R^4, это группа Ли, но довольно тривиальная, а не та, которую вы рассматриваете. Группа, на которую вы смотрите, — это группа Лоренца (подгруппа) группы изометрии пространства Минковского. Итак, у вас есть два многообразия: одно имеет метрику, но не является группой, а другое, его группа изометрий, является группой, но не имеет метрики. Поэтому, если вы изучаете функции на S^3 (с метрикой трех сфер), вам нужно взглянуть на группу изометрий, которой является SO (4).

Р. Ранкин

@Javier Я считаю, что пространство Минковского - это

$R^{(3,1)}$ и его группа - это группа Лоренца O (3,1) (обратите внимание, я не беспокоюсь здесь о двойных или универсальных покрытиях) en.wikipedia.org/wiki/… Но все это в любом случае было просто примером (хотя я мог запутаться Я только изучаю всю групповую вещь).

АВС

На групповом многообразии существует каноническая метрика Киллинга-Картана:

$ds^2=\mathop{\mathrm{tr}}(dG d(G^{-1}))$ , который появляется в таких вещах, как сигма-модели, модель WZW, теория струн (и бран) на групповых многообразиях.

Ответы (2)

Как свойства группы Ли (представленной в виде многообразия) проявляются в метрическом тензоре этого многообразия?

Что это за $\gamma$ матрицы, действующие на алгебре Ли вашей (произвольной) группы Ли? Или вы здесь явно говорите о группе Лоренца?
Я недостаточно знаю эту тему, чтобы дать ответ, но отмечу, что, поскольку вы можете поместить любую метрику в группу Ли, метрика на самом деле не даст вам никаких полезных отношений. Однако биинвариантные метрики несут полезную информацию. Например, риманово экспоненциальное отображение и экспоненциальное отображение Ли совпадают. Би-инвариантные метрики также индуцируются трансляциями из скалярного произведения на алгебре Ли. Если ваша группа Ли компактна, то так называемая форма Киллинга-Картана невырождена и играет роль такого скалярного произведения.
@s.harp Обобщенные гамма-матрицы — это любые матрицы, удовлетворяющие антикоммутационному соотношению (уравнение 1).
@Uldreth Конечно, я не могу поставить НИКАКОЙ показатель группе Ли? Поскольку группы Ли по определению являются гладкими многообразиями, рассмотрим пространство, которое является единичной трехсферой (которая является многообразием $SU(2)$ ), выбор метрики строго ограничен только выбором системы координат. спасибо за вклад, я посмотрю, должны ли мои показатели быть би-инвариантными
Выбор метрики не так сильно ограничен. Существует множество римановых многообразий, которые топологически являются сферой.
Вы можете поместить любое скалярное произведение в алгебру Ли, а затем перенести его на все другие касательные пространства, чтобы получить левоинвариантную метрику. Основной вопрос, представляющий интерес в отношении метрик на группах Ли, заключается в том, допускает ли группа Ли биинвариантную метрику. Я считаю, что это так только в том случае, если вы можете разложить алгебру Ли в виде $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{a}$ где $\mathfrak{h}$ имеет компактный тип $\mathfrak{a}$ является абелевой.
@Javier Есть, но все они могут быть представлены ультрасферическими гармониками, которые сами по себе являются неприводимыми представлениями SU (2) в d = 3 (по теореме Питера-Вейля). Или я неправильно интерпретирую
@ Хавьер Я переформулировал вопрос, надеюсь, это немного прояснит.
Я не уверен, как ответить на ваш вопрос, но, глядя на ваш пример, я думаю, что вы можете быть сбиты с толку. Пространство Минковского — это R^4, это группа Ли, но довольно тривиальная, а не та, которую вы рассматриваете. Группа, на которую вы смотрите, — это группа Лоренца (подгруппа) группы изометрии пространства Минковского. Итак, у вас есть два многообразия: одно имеет метрику, но не является группой, а другое, его группа изометрий, является группой, но не имеет метрики. Поэтому, если вы изучаете функции на S^3 (с метрикой трех сфер), вам нужно взглянуть на группу изометрий, которой является SO (4).
@Javier Я считаю, что пространство Минковского - это $R^{(3,1)}$ и его группа - это группа Лоренца O (3,1) (обратите внимание, я не беспокоюсь здесь о двойных или универсальных покрытиях) en.wikipedia.org/wiki/… Но все это в любом случае было просто примером (хотя я мог запутаться Я только изучаю всю групповую вещь).
На групповом многообразии существует каноническая метрика Киллинга-Картана: $ds^2=\mathop{\mathrm{tr}}(dG d(G^{-1}))$ , который появляется в таких вещах, как сигма-модели, модель WZW, теория струн (и бран) на групповых многообразиях.

Гоненц · Answer 1

В общем случае нет причин, по которым метрика $g$ в группе Ли $G$ проявлять любое из групповых свойств. Например, из изучения дифференциальной геометрии вы могли знать, что каждое гладкое многообразие $M$ можно снабдить римановой метрикой $g$ (по сути, просто оттянув метрику на $\mathbb R^n$ с помощью диаграмм и их склеивания). Нет никакой причины, чтобы эта общая конструкция подчинялась каким-либо свойствам группового умножения, если вы выберете $M=G$ .

Однако, если группа Ли достаточно хороша (например, компактна), вы можете иметь метрики, которые, например, являются лево- (или даже би-) инвариантными. Например, вы можете сделать следующее. Предположим, что вы выбрали свой любимый скалярный продукт $\left< \cdot, \cdot \right>$ на $\mathbb R^n$ . Тогда с тех пор $T_e G \cong \mathbb R^n$ , у нас есть скалярное произведение касательного пространства в единице, а затем определим для всех элементов $x \in G$

\forall в, ж е Т_{Икс} г (в, ж)_{Икс} "=" ⟨ Д л_{Икс}^{- 1} в, Д л_{Икс}^{- 1} ж ⟩

$\forall v,w \in T_x G \quad (v,w)_x := \left<DL_x^{-1} v,DL_x^{-1} w\right>$

где $L_x$ это умножение слева на $x \in G$ и $DL_x$ является дифференциалом $L_x$ . Итак, что вы делаете, это тянете любой вектор $v \in T_x G$ левым умножением обратно к $T_e G$ , вычислить там скалярное произведение. Обратите внимание, что это скалярное произведение обычно не будет биинвариантным. Если $G$ компактно, то вы можете «усреднить» это скалярное произведение с (левоинвариантной) мерой Хаара, чтобы получить биинвариантное скалярное произведение. На самом деле, биинвариантные скалярные произведения многое говорят о групповой структуре $G$ .

Спасибо, я думаю, это то, что я ищу, поскольку я имею дело только с пространством-временем с компактными топологиями.
Однако обратите внимание, что общая метрика даже на компактных группах Ли не будет иметь никакого отношения к структуре группы.
«Однако, если группа Ли достаточно хороша (например, компактна), вы можете иметь метрики, которые, например, лево- (или даже би-) инвариантны». - Каждая группа Ли допускает левоинвариантные метрики.
@s.harp, что также ясно из доказательства, которое я дал «достаточно хорошо», имело в виду би-инвариантные метрики. Я мог бы перефразировать это, хотя, если это двусмысленно.
@GonencMogol Предположим, у меня есть метрическое пространство постоянной кривизны на G, могу ли я тогда записать тензор Римана в терминах алгебры Ли, соответствующей G?

Футуролог · Answer 2

Кажется, я понимаю, о чем вы спрашиваете. Предположим, у вас есть группа Ли. $G$ размера $n$ с левой, правой или биинвариантной метрикой $g_0$ на $G$ . Это означает, что либо $(L_q)^*g_0 = g_0$ или $(R_q)^*g_0 = g_0$ или оба для всех $q \in G$ .

Во-первых, вы берете (возможно, небольшое) открытое подмножество $U$ из $G$ .
Затем вы принимаете диффеоморфизм $\phi : U \to W \subset \mathbb{R}^n$ который отображает открытый домен $U$ из $G$ к открытому подмножеству $W$ из $\mathbb{R}^n$ с координатами $x = (x^1, ..., x^n)$ .
И, наконец, вы отправляете метрику $g_0$ с помощью $\phi$ из группы Ли $G$ к открытому множеству $W$ в $\mathbb{R}^n$ . Точнее, вы определяете (обратный) метрический тензор $g(x) = \big(\phi^{-1}\big)_x^*g_0(\phi^{-1}(x))$ на открытой площадке $W$ в $\mathbb{R}^n$ с координатами $x = (x^1, ..., x^n)$ .

По сути, $\big( U, \phi\big)$ представляет собой график $G$ и $g(x)$ является координатным представлением $g_0$ в этом графике.

Теперь ваш вопрос, кажется, об обратном. Представьте, что вы даете мне просто метрический тензор $g(x) = \big(\, g_{ij}(x)\,\big)_{i,j = 1}^{n}$ определенный на некотором открытом домене $W$ из $\mathbb{R}^n$ и вы спрашиваете меня: «Можете ли вы выяснить, является ли метрический тензор $g(x)$ является координатным представлением левой, правой или биинвариантной метрики на некоторой группе Ли, т. е. метрический тензор $g(x)$ пришел от группы Ли после выполнения процедуры 1-2-3 сверху?»

Чтобы ответить на этот вопрос, я бы попытался найти алгебру Ли векторных полей Киллинга $g(x)$ , т.е. я буду искать все векторные поля $X(x)$ для которого производная Ли от $g(x)$ является $L_Xg = 0$ . Эквивалентно, если в координатах $x = (x^2,...,x^n)$ на $\mathbb{R}^n$ , векторные поля $X(x)$ пишутся как

Икс (Икс) "=" {Икс}^{Дж} ({Икс}^{1}, . . ., {Икс}^{н}) \frac{\partial}{\partial {Икс}^{Дж}}

$X(x) = X^{j}(x^1,...,x^n)\, \frac{\partial}{\partial x^j}\,$ тогда уравнение

L_{X} g = 0

$L_Xg = 0$ можно записать в виде системы уравнений

\nabla_{\frac{\partial}{\partial {Икс}_{к}}} {Икс}_{Дж} (Икс) + \nabla_{\frac{\partial}{\partial {Икс}_{Дж}}} {Икс}_{к} (Икс) "=" 0

$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_k}}\,X_j(x) \, + \,\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\,X_k(x) = 0$ Так что я бы попытался сформировать набор всех таких векторных полей Киллинга

К "=" {Икс (Икс) : л_{Икс} г "=" 0}

$\mathcal{K} = \big\{\, X(x) \, : \, L_Xg = 0 \, \big\}$ Этот набор

K

$\mathcal{K}$ на самом деле является конечномерной алгеброй Ли векторных полей, порождающих изометрии метрического тензора

g (x)

$g(x)$ . Если

\dim K < n

$\dim{\mathcal{K}} < n$ тогда нет шансов, что

g (x)

$g(x)$ исходит из метрики

g_{0}

$g_0$ в группе Ли

G

$G$ . Однако, если

\dim K = n

$\dim{\mathcal{K}} = n$ тогда это так. В самом деле, согласно теореме Картана-Ли (может быть, также называемой третьей теоремой Ли), каждая конечномерная алгебра Ли является алгеброй Ли односвязной конечномерной группы Ли. Соответствующее сочетание фазовых потоков базиса векторных полей Киллинга из

K

$\mathcal{K}$ будет генерировать диффеоморфизм

ϕ

$\phi$ обсуждалось в пункте 2 выше.

Наконец, если я не ошибаюсь, я считаю, что если $\dim{\mathcal{K}} > n$ это, вероятно, потому, что метрический тензор $g(x)$ исходит из метрики однородного пространства. Например, двусфера является однородным пространством для $SU(2)$ , т.е. $SU(2)$ хорошо действует на двусфере, и двусфера диффеоморфна фактору $SU(2)$ копией U(1), встроенной в $SU(2)$ . Например, вспомните карту расслоения Хопфа. Именно эта частная карта из $SU(2)$ к двусфере.

Отличный ответ! и вы правы, кажется, что убивать векторы - это путь.

Как свойства группы Ли (представленной в виде многообразия) проявляются в метрическом тензоре этого многообразия?

Р. Ранкин

острый

Бенце Рашко

Р. Ранкин

Р. Ранкин

Хавьер

острый

Р. Ранкин

Р. Ранкин

Хавьер

Р. Ранкин

АВС

Ответы (2)

Гоненц

Р. Ранкин

Гоненц

острый

Гоненц

Р. Ранкин

Футуролог

Р. Ранкин

Генераторы группы диффеоморфизмов

Интерпретация нормальных координат

Физическая интуиция спинорной связи и спинорных пучков?

Контрпример к определению сферической симметрии в общей теории относительности

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Как найти нулевую геодезическую?

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Приложения общей теории относительности, отличные от гравитации

Что свидетельствует об интерпретации gμνgμνg_{\mu\nu} как метрики пространства-времени?

Разные подписи