Геодезические и параметризация

Question

Геодезические и параметризация

Хелен

Я пересматривал некоторые из своих студенческих заметок по общей теории относительности и наткнулся на утверждение, в котором я упоминаю, что если для параметров выполняется уравнение геодезии $\alpha$ и $\beta$ :
$\frac{г^{2} {Икс}^{мю}}{г α^{2}} + Г_{ν р}^{мю} \frac{г {Икс}^{ν}}{г α} \frac{г {Икс}^{р}}{г α} "=" 0$ $\frac{d^2x^{\mu}}{d\alpha^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\frac{dx^{\nu}}{d\alpha}\frac{dx^{\rho}}{d\alpha}=0$ и $\frac{г^{2} {Икс}^{мю}}{г β^{2}} + Г_{ν р}^{мю} \frac{г {Икс}^{ν}}{г β} \frac{г {Икс}^{р}}{г β} "=" 0$ $\frac{d^2x^{\mu}}{d\beta^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\frac{dx^{\nu}}{d\beta}\frac{dx^{\rho}}{d\beta}=0$ Затем $α "=" С_{1} β + С_{2}$ $\alpha=C_1\beta+C_2$ где $C_1$ и $C_2$ являются константами.

Что ж, я чувствую, что это правильно, потому что уравнение геодезической имеет второй порядок по параметру, по которому мы дифференцируем. Но я также чувствую, что упускаю что-то более глубокое. Какова физическая интерпретация этого?

Вальтер Моретти

Я удалил свой ответ, потому что он касался не физического смысла, а только математической причины. Однако геометрический смысл заключается в следующем. Геодезические — это кривые, обладающие, среди прочего, той особенностью, что касательный вектор имеет постоянную длину вдоль кривой. Это происходит только для класса параметризаций. Этот класс создается при параметризации с этим свойством и всеми возможными аффинными репараметризациями. Это свойство выполняется для времениподобных и пространственноподобных геодезических.

Хелен

Привет! Спасибо за ваш комментарий. Я не видел вашего ответа по математическим рассуждениям. Было ли это чем-то более строгим, чем то, что я упоминаю в своем вопросе? Я имею в виду, что простое применение цепного правила требует, чтобы

\frac{d^{2} α}{d β^{2}} = 0

$\frac{d^2\alpha}{d\beta^2}=0$ .

Вальтер Моретти

Хорошо, я восстановил это.

Ответы (3)

Геодезические и параметризация

Я удалил свой ответ, потому что он касался не физического смысла, а только математической причины. Однако геометрический смысл заключается в следующем. Геодезические — это кривые, обладающие, среди прочего, той особенностью, что касательный вектор имеет постоянную длину вдоль кривой. Это происходит только для класса параметризаций. Этот класс создается при параметризации с этим свойством и всеми возможными аффинными репараметризациями. Это свойство выполняется для времениподобных и пространственноподобных геодезических.
Привет! Спасибо за ваш комментарий. Я не видел вашего ответа по математическим рассуждениям. Было ли это чем-то более строгим, чем то, что я упоминаю в своем вопросе? Я имею в виду, что простое применение цепного правила требует, чтобы $\frac{d^2\alpha}{d\beta^2}=0$ .

Вальтер Моретти · Answer 1

На самом деле есть деликатный момент, который использует справедливость теоремы единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Верно, что аффинные перепараметризации сохраняют уравнение геодезических. Обратный факт, однако, более красноречив.

Я предполагаю, что метрика $C^2$ гарантировать справедливость теоремы существования и единственности геодезических для заданных начальных условий.

Точное утверждение, которое вы ищете, должно быть следующим.

Предложение . Предположим, что метрика $C^2$ и что $x^\mu = x^\mu(\alpha)$ , в местных координатах, является геодезической, определенной для $\alpha \in [a,b]$ . Есть только две взаимоисключающие возможности, относящиеся к классу $C^2$ перепараметризация $\alpha= \alpha(\beta)$ где $d\alpha/d\beta \neq 0$ для $\beta \in [c,d]$ .

(а) $x^\mu= x^\mu(\alpha)$ является постоянной геодезической и $x^\mu=x'^\mu(\beta) = x^\mu(\alpha(\beta))$ по-прежнему решает геодезическое уравнение для каждой перепараметризации.

(б) $x^\mu= x^\mu(\alpha)$ не является постоянной геодезической и $x^\mu=x'^\mu(\beta) = x^\mu(\alpha(\beta))$ решает уравнение геодезической тогда и только тогда, когда $\beta = C_1\alpha + C_2$ где $C_1 \neq 0$ .

Доказательство . Прежде всего обратите внимание, что если $x=x(\alpha)$ является постоянной геодезической, то каждая репараметризация будет давать постоянную геодезическую. Если $x=x(\alpha)$ является геодезической, то аффинная репараметризация тривиально сохраняет уравнение геодезических.

В заключение мы должны доказать, что допустимы только аффинные перепараметризации, если только геодезическая не постоянна.

Предположим, вы изменили параметр $\alpha= \alpha(\beta)$ (функция $C^2$ и $\frac{d\alpha}{d\beta} \neq 0$ везде иметь истинную перепараметризацию) и $x=x'(\beta):= x(\alpha(\beta))$ по-прежнему удовлетворяет геодезическому уравнению (последнее вы написали). С

\frac{г^{2}}{г β^{2}} "=" {(\frac{г α}{г β})}^{2} \frac{г^{2}}{г α^{2}} + \frac{г^{2} α}{г β^{2}} \frac{г}{г α}

$\frac{d^2}{d\beta^2} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)^2\frac{d^2}{d\alpha^2} + \frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}\frac{d}{d\alpha}$ сравнивая два уравнения геодезических, фигурирующие в исходном вопросе, вы видите, что

\frac{г^{2} α}{г β^{2}} \frac{г {Икс}^{мю}}{г α} "=" 0

$\frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}\frac{d x^\mu}{d\alpha}=0$ везде по кривой. Есть две возможности: (а)

\frac{d x^{μ}}{d α} = 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha}=0$ где-то или (б)

\frac{d x^{μ}}{d α} \neq 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha} \neq 0$ повсюду. Во втором случае

\frac{d^{2} α}{d β^{2}} = 0

$\frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}=0$ везде так, чтобы

α = C_{1} β + C_{2}

$\alpha = C_1 \beta + C_2$ (где

C_{1} \neq 0

$C_1\neq 0$ в связи с первоначальным требованием

\frac{d α}{d β} \neq 0

$\frac{d\alpha}{d\beta} \neq 0$ ). Предположим, что, наоборот,

\frac{d x^{μ}}{d α} |_{α = α_{0}} = 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha}|_{\alpha= \alpha_0}=0$ . В этом случае функция

x^{μ} (α) = x^{μ} (α_{0})

$x^\mu(\alpha)= x^\mu(\alpha_0)$ удовлетворяет задаче Коши, состоящей из вашего первого геодезического уравнения и начальных условий

x^{μ} (α_{0})

$x^\mu(\alpha_0)$ и

\frac{d x^{μ}}{d α} |_{α = α_{0}} = 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha}|_{\alpha= \alpha_0}=0$ и это единственное решение, так как выполняются условия теоремы единственности. Так

x^{μ} (α) = x^{μ} (α_{0})

$x^\mu(\alpha) = x^\mu(\alpha_0)$ постоянно.

КЭД

Теперь я могу представить геометрический смысл класса аффинных перепараметризаций геодезической.

НБ . В дальнейшем я предполагаю иметь дело с пространственноподобными или времениподобными непостоянными геодезическими.

Уравнение геодезических можно записать

\nabla_{\dot{γ}} \dot{γ} "=" 0

$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} =0$ Эта формулировка является внутренней,

\nabla

$\nabla$ является ковариантной производной, возникающей из метрики

g

$g$ и

\dot{γ}

$\dot{\gamma}$ - касательный вектор к геодезической

γ = γ (t)

$\gamma = \gamma(t)$ . Как следствие указанного уравнения,

г (\dot{γ}, \nabla_{\dot{γ}} \dot{γ}) "=" 0

$g(\dot{\gamma},\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}) =0$ который можно переписать как

\begin{matrix} (0) & \frac{1}{2} \nabla_{\dot{γ}} г (\dot{γ}, \dot{γ}) "=" 0 \end{matrix}

$\frac{1}{2}\nabla_{\dot{\gamma}}g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) =0\tag{0}$ то есть

\begin{matrix} (1) & \frac{г}{г т} г (\dot{γ}, \dot{γ}) "=" 0 . \end{matrix}

$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) =0\:. \tag{1}$ Очевидно, что длина касательного вектора

g (\dot{γ}, \dot{γ})

$g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})$ постоянна вдоль геодезической. Это свойство не может быть инвариантным при произвольной перепараметризации, так как касательный вектор зависит от выбора параметра.

Однако можно охарактеризовать класс перепараметризаций, сохраняющих это свойство, обнаружив, что именно уже найденный класс перепараметризаций оставляет фиксированной форму уравнения геодезических.

Если $t=t(u)$ это $C^2$ повторная параметризация с $dt/du \neq 0$ везде, определяя $\sigma(u) := \gamma(t(u))$ , (1) можно преобразовать в эквивалентное требование

\frac{г}{г ты} ({(\frac{г т}{г ты})}^{2} г (\dot{о} (ты), \dot{о} (ты))) "=" 0 .

$\frac{d}{du}\left(\left(\frac{dt}{du}\right)^2 g(\dot{\sigma}(u), \dot{\sigma}(u)) \right) =0\:.$ Расширяем левую часть, используя

\frac{d t}{d u} \neq 0

$\frac{dt}{du} \neq 0$ вместе с

g (\dot{γ}, \dot{γ}) \neq 0

$g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) \neq 0$ (поскольку геодезическая является непостоянной пространственно- или времениподобной геодезической) и предполагая, что также длина

\dot{σ}

$\dot{\sigma}$ постоянно

\begin{matrix} (1) & \frac{г}{г ты} г (\dot{о}, \dot{о}) "=" 0 . \end{matrix}

$\frac{d}{du}g(\dot{\sigma},\dot{\sigma}) =0\:. \tag{1}$ мы нашли

\frac{г}{г ты} {(\frac{г т}{г ты})}^{2} "=" 0 .

$\frac{d}{du} \left(\frac{dt}{du}\right)^2 =0\:.$ С

\frac{d t}{d u} \neq 0

$\frac{dt}{du} \neq 0$ , это эквивалентно

\frac{г}{г ты} \frac{г т}{г ты} "=" 0,

$\frac{d}{du}\frac{dt}{du} =0\:,$ а именно

u = C_{1} t + C_{2}

$u= C_1t + C_2$ с

C_{1} \neq 0

$C_1 \neq 0$ . Мы заключаем, что если перепараметризация дает кривую с касательным вектором постоянной длины, то перепараметризация сохраняет структуру уравнений геодезических и наоборот .

В теории относительности и в дифференциальной геометрии один из параметров (непостоянной, не светоподобной) геодезической имеет соответствующий физический/геометрический смысл: собственное время или параметр длины дуги геодезических. Однако, согласно ответу Бена Кроуэлла, мы можем свободно менять наши единицы измерения, а также можем произвольно фиксировать происхождение параметра и ожидать, т. Е. Выполнять произвольное (несингулярное аффинное преобразование параметра). Поскольку эти варианты выбора полностью условны, физические/геометрические свойства кривой должны оставаться неизменными. Это случай самого уравнения (0) и того факта, что касательный вектор постоянен вдоль кривой.

Существует еще один класс кривых, касательный вектор которых имеет постоянную длину, и это свойство сохраняется при перепараметризации кривых с помощью аффинных преобразований, имеющих физически значимый смысл. Я имею в виду касательные кривые к векторным полям Киллинга $K$ . Эти кривые определяются как

\dot{γ} "=" К (γ (т)) .

$\dot{\gamma}= K(\gamma(t))\:.$ Поскольку метрика инвариантна вдоль орбит

K

$K$ , мы тривиально имеем

\frac{г}{г т} г (\dot{γ}, \dot{γ}) "=" \frac{г}{г т} г (К (γ (т)), К (γ (т))) "=" 0 .

$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma})= \frac{d}{dt}g(K(\gamma(t)), K(\gamma(t)))=0\:.$ С другой стороны

K

$K$ является полем смерти тогда и только тогда, когда

K^{'} := c K

$K' := cK$ это поля смерти для

c \neq 0

$c \neq 0$ . Интегральные кривые

K^{'}

$K'$ те из

K

$K$ с измененным параметром

u = t / c

$u= t/c$ . Происхождение параметра может быть зафиксировано произвольно, и поэтому мы снова открываем аффинный класс преобразований.

пользователь4552 · Answer 2

Типичным примером аффинного параметра может быть собственное время вдоль времениподобной геодезической. Тот факт, что кривая является геодезической, не зависит от того, какие единицы измерения используются вашими часами или когда вы запускаете часы.

И почему предполагается, что хорошие представления о времени могут быть изменены только с помощью аффинных преобразований? Я думаю, что рассуждение может быть обратным: мы допускаем только аффинные переопределения нашего понятия времени из-за этого свойства уравнения геодезических (или аналогичного свойства параметров интегральных кривых векторных полей Киллинга в искривленном пространстве-времени). Однако да, ваше замечание верно независимо от того, является ли оно причиной или следствием времениподобных геодезических.

Двойственность · Answer 3

Хороший вопрос! Очевидно, если $a=C_1\beta+C_2$ затем

г а "=" С_{1} г β,

$\text{d}a=C_1\text{d}\beta,$ и уравнение геодезических остается неизменным при этом преобразовании, если умножить на

C_{1}^{2}

$C_1^2$ . Отвечая на ваш вопрос, более глубокий смысл заключается в том, что действие

С "=" \int дс

$S = \int \text{ds}$ всегда одинакова для линейных преобразований параметра. Действие также можно рассматривать как

длина дуги или
полная энергия за некоторое время с $С "=" \int^{т} л (\dot{Икс}, Икс) г т .$ $S=\int^tL(\dot{x},x)\text{d}t.$

Объединение этих двух идей показывает, что минимальная энергия системы с течением времени останется неизменной для произвольных линейных преобразований параметра измерения длины. Это утверждение на самом деле кодирует многое; один интересный - полная энергия локально сохраняется.

Геодезические и параметризация

Хелен

Вальтер Моретти

Хелен

Вальтер Моретти

Ответы (3)

Вальтер Моретти

пользователь4552

Вальтер Моретти

Двойственность

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Выражение в замкнутой форме для положения как функции времени объекта, падающего прямо в черную дыру из бесконечности

О геодезических метрики ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 и константы l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {д\альфа}{д\тау}

Общая теория относительности Вальда, раздел 6.3, стр. 144

Кривизна света вокруг черной дыры [дубликат]

Решение геодезических на 2-сфере

Круговая орбита в координатах Шварцшильда [закрыто]

Геодезические уравнения метрики FRW (символы Кристоффеля)