Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Question

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Вустер

Я пытаюсь понять нулевые геодезические в метрике:

д с^{2} "=" - (1 + г г)^{2} д т^{2} + д г^{2} + д {Икс}^{2}

$\mathrm{d}s^2 = -(1+gz)^2 \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}z^2 + \mathrm{d}x^2$

В частности, мне интересно, верна ли следующая интуиция: если фотон испускается из источника под углом $\theta$ к горизонту, то не могло ли быть так, что фотон "утаскивается" гравитационным полем обратно на поверхность $z=0$ в какое-то более позднее время?

Чтобы ответить на это, мы можем написать лагранжиан (для нулевой геодезической):

л "=" (1 + г г)^{2} {\dot{т}}^{2} - {\dot{Икс}}^{2} - {\dot{г}}^{2} "=" 0

$L = (1+gz)^2 \dot{t}^2 - \dot{x}^2 - \dot{z}^2 = 0$ И сохраняемые количества:

Е "=" (1 + г г)^{2} \dot{т}, ты "=" \dot{Икс}

$E = (1+gz)^2 \dot{t},\quad u = \dot{x}$

Это позволяет свести к одномерной задаче для $z$ с потенциалом:

В (г) "=" - \frac{- Е^{2}}{(1 + г г)^{2}}

$V(z) = -\frac{-E^2}{(1+gz)^2}$

Я изо всех сил пытаюсь сопоставить это с моей интуицией и буду признателен за любую помощь в этом.

пользователь4552

Они называются координатами Риндлера. Хотя в заголовке написано «однородное гравитационное поле», на самом деле частицы с постоянным z имеют разные собственные ускорения в зависимости от z. Метрика плоская, поэтому нулевые геодезические - это просто нулевые геодезические в пространстве Минковского, преобразованные в координаты Риндлера. В статье WP о координатах Риндлера обсуждается нулевая геодезическая и ее геометрическая интерпретация.

Вустер

Спасибо за ваш комментарий - чтобы использовать этот факт, нам, конечно же, нужно найти преобразование, переводящее эту метрику в координаты Минковского, это легко сделать здесь?

Ответы (1)

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Они называются координатами Риндлера. Хотя в заголовке написано «однородное гравитационное поле», на самом деле частицы с постоянным z имеют разные собственные ускорения в зависимости от z. Метрика плоская, поэтому нулевые геодезические - это просто нулевые геодезические в пространстве Минковского, преобразованные в координаты Риндлера. В статье WP о координатах Риндлера обсуждается нулевая геодезическая и ее геометрическая интерпретация.
Спасибо за ваш комментарий - чтобы использовать этот факт, нам, конечно же, нужно найти преобразование, переводящее эту метрику в координаты Минковского, это легко сделать здесь?

Вальтер Моретти · Answer 1

Метрика считывает, восстанавливая $c$ ,

{д с}^{2} "=" - (1 + г г / с^{2})^{2} с^{2} {д т}^{2} + {д г}^{2} + {д Икс}^{2} .

$\mathrm{ds}^2 = -(1+gz/c^2)^2 c^2\mathrm{dt}^2 + \mathrm{dz}^2 + \mathrm{dx}^2\:.$ Метрику можно использовать для определения геодезических с помощью связанного квадратичного лагранжиана.

\begin{matrix} (0) & л "=" - (1 + г г / с^{2})^{2} с^{2} {\dot{т}}^{2} + {\dot{г}}^{2} + {\dot{Икс}}^{2} \end{matrix}

$L = -(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}^2 + \dot{z}^2 +\dot{x}^2\tag{0}$ где точка обозначает производную по аффинному параметру

s

$s$ .

NB Более обычный лагранжиан

л "=" \sqrt{| - (1 + г г / с^{2})^{2} с^{2} {\dot{т}}^{2} + {\dot{г}}^{2} + {\dot{Икс}}^{2} |}

$L = \sqrt{|-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}^2 + \dot{z}^2 +\dot{x}^2|}$ здесь не подходит, так как не определяет светоподобные геодезические, тогда как (0) определяет все типы геодезических, уже записанные в функции аффинного параметра.

Случай вертикального фотона (и вертикального массивного объекта)

Сначала я рассмотрю случай фотона, история которого описана в плоскости $t,z$ . Другими словами, это вертикальные фотоны, вертикальное направление которых совпадает с направлением гравитационного поля, $z$ .

Уравнения Эйлера-Лагранжа лагранжиана (0) дают,

\begin{matrix} (1) & - \frac{д}{д с} (1 + г г / с^{2})^{2} \frac{д т}{д с} "=" 0 \end{matrix}

$-\frac{d}{ds} (1+gz/c^2)^2 \frac{dt}{ds}=0\tag{1}$ и

\begin{matrix} (2) & \frac{д}{д с} \frac{д г}{д с} "=" - (1 + г г / с^{2}) г {(\frac{д т}{д с})}^{2} . \end{matrix}

$\frac{d}{ds} \frac{dz}{ds}=-(1+gz/c^2)g\left(\frac{dt}{ds}\right)^2\:.\tag{2}$ Первое подразумевает

\begin{matrix} (2') & (1 + г г / с^{2})^{2} \frac{д т}{д с} "=" Т, \end{matrix}

$(1+gz/c^2)^2\frac{dt}{ds}=T\:,\tag{2'}$ так что, если предположить

T > 0

$T > 0$ как и должно быть для направленных в будущее каузальных геодезических,

\frac{д}{д с} "=" \frac{Т}{(1 + г г / с^{2})^{2}} \frac{д}{д т} .

$\frac{d}{ds}= \frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\frac{d}{dt}\:.$ Используя его в (2), мы имеем

\frac{Т}{(1 + г г / с^{2})^{2}} \frac{д}{д т} \frac{Т}{(1 + г г / с^{2})^{2}} \frac{д}{д т} г "=" - (1 + г г / с^{2}) г {(\frac{Т}{(1 + г г / с^{2})^{2}})}^{2}

$\frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\frac{d}{dt} \frac{T}{(1+gz/c^2)^2 }\frac{d}{dt} z = -(1+gz/c^2) g\left(\frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\right)^2$ что упрощает до

\frac{д^{2} г}{д т^{2}} "=" 2 \frac{г}{с^{2} (1 + г г / с^{2})} {(\frac{д г}{д т})}^{2} - (1 + г г / с^{2}) г .

$\frac{d^2z}{dt^2} = 2 \frac{g}{c^2(1+gz/c^2)}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2- (1+gz/c^2) g\:.$ Вы видите, что в нерелятивистском режиме, т.е.

| g z | << c^{2}

$|gz|<< c^2$ и

{(\frac{d z}{d t})}^{2} << c^{2}

$\left(\frac{dz}{dt}\right)^2<< c^2$ , уравнение для

z = z (t)

$z=z(t)$ можно аппроксимировать уравнением Ньютона

\frac{д^{2} г}{д т^{2}} "=" - г

$\frac{d^2z}{dt^2} =-g$ как и ожидалось для массивных объектов, эволюционирующих вдоль времениподобных геодезических.

Светоподобные геодезические можно явно определить более коротким путем.

Прежде всего заметим, что лагранжиан (0) не зависит от $s$ явно. Поэтому теорема Якоби говорит, что функция Гамильтона сохраняется вдоль решения уравнений Эйлера-Лагранжа. Из-за отсутствия какого-либо потенциального члена в лагранжиане функция Гамильтона совпадает с самим лагранжианом. Другими словами

\begin{matrix} (3) & - (1 + г г / с^{2})^{2} с^{2} \dot{т} (с)^{2} + \dot{г} (с)^{2} + \dot{Икс} (с)^{2} "=" с о н с т а н т \end{matrix}

$-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 + \dot{z}(s)^2 +\dot{x}(s)^2= constant\tag{3}$ по геодезическим. Для светоподобных геодезических на плоскости

t, z

$t,z$ у нас есть в частности

- (1 + г г / с^{2})^{2} с^{2} \dot{т} (с)^{2} + \dot{г} (с)^{2} "=" 0

$-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 + \dot{z}(s)^2 = 0$ потому что

L

$L$ есть не что иное, как квадрат лоренцевской нормы касательного вектора, так что

(1 + г г / с^{2})^{2} с^{2} \dot{т} (с)^{2} "=" \dot{г} (с)^{2} .

$(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 = \dot{z}(s)^2\:.$ Поскольку, как отмечалось выше, каузальные геодезические могут быть параметризованы

t

$t$ (хотя это и не аффинный параметр), найденное равенство дает

\frac{д г}{д т} "=" \pm с (1 + г г / с^{2})

$\frac{dz}{dt} = \pm c(1+gz/c^2)$ и поэтому

\begin{matrix} (4) & \frac{д г}{1 + г г / с^{2}} "=" \pm с д т \end{matrix}

$\frac{dz}{1+gz/c^2} = \pm cdt \tag{4}$ Обратите внимание, что (3) также верно для времяподобных геодезических, но последующее дифференциальное уравнение первого порядка не так просто решить, как для светоподобных геодезических. Вместо этого уравнение для светоподобных геодезических (4) можно интегрировать сразу, получая

г (т) "=" (г (0) + \frac{с^{2}}{г}) е^{\pm \frac{г}{с} т} - \frac{с^{2}}{г} .

$z(t) = \left(z(0) + \frac{c^2}{g}\right) e^{\pm \frac{g}{c}t}- \frac{c^2}{g}\:.$ Это общая формула, описывающая светоподобные геодезические на плоскости

t, z

$t,z$ нашей ускоренной системы координат. Стоит отметить, что есть два типа геодезических, излучаемых на

z (0)

$z(0)$ для

t = 0

$t=0$ , те что со знаком

-

$-$ в показателе распространения (для

t > 0

$t>0$ ) в сторону горизонта Убийцы, расположенного на

z_{0} = - \frac{c^{2}}{g}

$z_0 = -\frac{c^2}{g}$ (где

g_{t t} = 0

$g_{tt}=0$ ), так и распространяющиеся (для

t > 0

$t>0$ ) к

z = + \infty

$z= +\infty$ . Геодезические первого класса достигают горизонта, тратя бесконечное количество времени Убийства.

t

$t$ . Кривые другого типа быстро уходят в бесконечность с экспоненциальной зависимостью.

Таким образом, для массивных тел, эволюционирующих по времениподобным геодезическим, действие гравитационного поля аналогично классическому в нерелятивистском режиме. Эти частицы «тянутся» гравитационным полем обратно на поверхность. $z(0)$ где они были выпущены.

Совершенно иная картина получается для светоподобных геодезических, описывающих частицы света. Эти частицы не «утаскиваются» гравитационным полем обратно на поверхность. $z(0)$ где они были выпущены. Однако этот анализ справедлив для частиц света, испускаемых вдоль направления гравитационного поля, т. е. в вертикальном направлении . $z$ .

Случай невертикального фотона

Наконец, проверим, существует ли какой-либо эффект увлечения для легких частиц, если рассматривать движения с невертикальным начальным направлением. Поскольку задача вращательно симметрична относительно $z$ мы можем рассмотреть случай $y=0$ постоянно но непостоянно $x$ . Для простоты я далее предполагаю $c=1$ .

Уравнение для координаты $x$ возникающее из лагранжиана (0), тривиально, $\frac{d^2x}{ds^2}=0$ , так что

\begin{matrix} (5) & Икс "=" Икс с \end{matrix}

$x= Xs\tag{5}$
для некоторой константы

X > 0

$X>0$ . Есть еще одна аддитивная константа, которую я всегда могу предположить

0

$0$ путем переопределения происхождения

x

$x$ оси, поскольку задача инвариантна относительно переводов в

x y

$xy$ самолет. Теперь (3) для светоподобных геодезических дает с учетом (5)

{(\frac{д г}{д с})}^{2} + {Икс}^{2} "=" (1 + г г)^{2} {(\frac{д т}{д с})}^{2} .

$\left(\frac{dz}{ds}\right)^2 + X^2 = (1+ gz)^2 \left(\frac{dt}{ds}\right)^2\:.$ В конце концов, (2') дает

{(\frac{д г}{д с})}^{2} "=" \frac{Т^{2}}{(1 + г г)^{2}} - {Икс}^{2},

$\left(\frac{dz}{ds}\right)^2 = \frac{T^2}{(1+ gz)^2}-X^2\:,$ То есть

\frac{1}{г^{2}} {(\frac{д (1 + г г)}{д с})}^{2} "=" \frac{Т^{2}}{(1 + г г)^{2}} - {Икс}^{2} .

$\frac{1}{g^2}\left(\frac{d(1+gz)}{ds}\right)^2 = \frac{T^2}{(1+ gz)^2}-X^2\:.$ Определение

ζ := (1 + g z)^{2}

$\zeta := (1+ gz)^2$ , это уравнение можно переписать как

{(\frac{д ζ}{д с})}^{2} "=" 4 г^{2} (Т^{2} - {Икс}^{2} ζ)

$\left(\frac{d\zeta}{ds}\right)^2 = 4g^2( T^2 - X^2\zeta)$ и его решение гласит

\sqrt{Т^{2} - {Икс}^{2} ζ (с)} "=" г {Икс}^{2} с + С

$\sqrt{T^2 - X^2\zeta(s)} = gX^2s +C$ для произвольной константы

C

$C$ . Другими словами, переопределение

C

$C$

\begin{matrix} (6) & ζ (с) "=" \frac{Т^{2}}{{Икс}^{2}} - г^{2} {Икс}^{2} (с + С)^{2} . \end{matrix}

$\zeta(s) = \frac{T^2}{X^2} - g^2X^2(s+C)^2\:.\tag{6}$ Используя определение

ζ

$\zeta$ мы наконец получаем

г (с) "=" - \frac{1}{г} \pm \sqrt{\frac{Т^{2}}{г^{2} {Икс}^{2}} - {Икс}^{2} (с + С)^{2}} .

$z(s) = -\frac{1}{g}\pm \sqrt{\frac{T^2}{g^2X^2} - X^2(s+C)^2}\:.$ На самом деле, поскольку используемые нами координаты определены для

z > - 1 / g

$z> -1/g$ только решение

\begin{matrix} (7) & г (с) "=" - \frac{1}{г} + \sqrt{\frac{Т^{2}}{г^{2} {Икс}^{2}} - {Икс}^{2} (с + С)^{2}} \end{matrix}

$z(s) = -\frac{1}{g}+ \sqrt{\frac{T^2}{g^2X^2} - X^2(s+C)^2}\tag{7}$ разрешено.

Эту кривую можно параметризовать с временем убийства. $t$ интегрируя (2'), так как $(1+gz)^2 = \zeta$ теперь явно дается формулой (6). Однако в этом нет необходимости, поскольку нас интересует только форма траектории.

Кривая (7) представляет собой эллипс на плоскости $z,s$ в центре $z= -1/g$ , $s=-C$ и с осями, параллельными декартовым осям. Мы всегда можем предположить $C=0$ поскольку происхождение аффинного параметра произвольно.

Физическая интерпретация теперь проста. Если мы испустим наш фотон с поверхности на $z=z_0> -1/g$ по направлению $z>0$ но и с горизонтальной составляющей его аффинной скорости $\dot{x}=X>0$ в некоторый начальный аффинный момент $-s_0<0$ , через конечное количество аффинного времени, точнее в $s= s_0$ , фотон возвращается в $z_0$ .

Ваша интуиция была верна: на самом деле фотон притягивается гравитационным полем обратно на испускающую поверхность в точке $z=z_0$ .

Спасибо за этот подробный ответ! Не правда ли, однако, что когда эти светоподобные геодезические имеют некоторую $x$ компонент (я так понимаю, вы проигнорировали $x$ компонент здесь), то будет какое-то перетаскивание? Мне непонятно, как вы использовали условие, что геодезические излучаются под углом $\theta$ в $xz$ самолет?
Ну на самом деле нет никакого угла здесь! Или лучше это $\pm \pi/2$ «вертикальное направление», т. е. направление вдоль направления гравитационного поля, $z$ в нашем случае. Возможно, имеет место какой-то эффект перетаскивания, включая координаты $x, y$ . Дай мне подумать об этом.
Да, для меня имеет смысл, что не должно быть перетаскивания в вертикальном направлении, но я ожидал бы некоторого, если бы свет излучался под некоторым углом (например, гравитационное линзирование), поэтому мне было бы очень любопытно посмотреть, как это работает в этом случае. - Я не смог ее решить!
@Wooster Я получил результат траектории фотона с невертикальным начальным направлением. Ваша интуиция точна, фотон, на самом деле, притягивается гравитационным полем обратно на исходную поверхность!
Я только что проработал ваш ответ - это очень интересно! Спасибо, что нашли время написать такой подробный ответ. Это интересный результат!
пожалуйста :) Действительно, я впервые задумался над этой проблемой. Я мог бы признаться, что я думал, что вы были неправы! У вас глубокая физическая интуиция... Я буду использовать это вычисление в качестве упражнения для своих студентов.
Спасибо! Я также думаю, что мы можем рассматривать это как метрику однородного гравитационного поля, и я могу ошибаться, но тогда у нас есть странный вывод, что если бы Земля была плоской, то, глядя в небо, вы бы увидели другую часть Земли где-то рядом. расстояние далеко.
Ты прав. В почти ньютоновском приближении гравитационный потенциал равен $\phi = - \frac{c^2}{2}h_{00}$ , где $h_{00}$ является поправкой к Минковскому $g_{00}=-1$ . В нашем случае первое приближение по обратным степеням $c^2$ для $h_{00}$ просто приводит к $\phi(z)= gz$ ...Это постоянное однородное гравитационное поле.

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Вустер

пользователь4552

Вустер

Ответы (1)

Вальтер Моретти

Вустер

Вальтер Моретти

Вустер

Вальтер Моретти

Вустер

Вальтер Моретти

Вустер

Вальтер Моретти

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Выражение в замкнутой форме для положения как функции времени объекта, падающего прямо в черную дыру из бесконечности

О геодезических метрики ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 и константы l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {д\альфа}{д\тау}

Общая теория относительности Вальда, раздел 6.3, стр. 144

Кривизна света вокруг черной дыры [дубликат]

Решение геодезических на 2-сфере

Геодезические и параметризация

Круговая орбита в координатах Шварцшильда [закрыто]

Геодезические уравнения метрики FRW (символы Кристоффеля)