О геодезических метрики ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 и константы l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {д\альфа}{д\тау}

Question

О геодезических метрики ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 и константы l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {д\альфа}{д\тау}

Soof_fie

В моем задании мне приходится иметь дело с метрикой двумерного пространства-времени.

г с^{2} "=" - р^{2} г α^{2} + г р^{2} .

$ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2.$ В ходе этого задания мы показали, что константа

л "=" р^{2} \frac{г α}{г т}

$l=\rho^2\frac{d\alpha}{d\tau}$ является константой вдоль геодезических в этом пространстве. После этого мы нашли выражение для

ρ

$\rho$ с точки зрения

α

$\alpha$ , для которого

ρ (α = 0) = l

$\rho(\alpha=0)=l$ , а именно:

р (α) "=" л \frac{2 е^{α}}{е^{2 α} + 1} .

$\rho(\alpha)=l\frac{2e^\alpha}{e^{2\alpha}+1}.$ Мы построили эту функцию для различных значений l, что дало: $Выражение для $\rho(\alpha)$, построенное для различных значений l.$

Наконец, мы показали, что в непосредственной близости от радиуса Шваршильда, т.е. $0<r-r_s\ll 1$ , метрика $ds^2=-\rho^2 d\alpha^2+d\rho^2$ соответствует метрике $ds^2=-(1-\frac{r_s}{r})dt^2+(1-\frac{r_2}{r})^{-1}dr^2$ .

Теперь нам нужно использовать результат о том, что метрика приблизительно равна метрике Шварцшильда на радиусе Шварцшильда, чтобы интерпретировать графики, которые мы нашли на рисунке, показанном выше, и дать возможную интерпретацию для l. И я действительно понятия не имею, как интерпретировать эти цифры или что такое l.

Любые идеи приветствуются!

Ответы (2)

О геодезических метрики ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 и константы l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {д\альфа}{д\тау}

ДжамалС · Answer 1

Метрика, написанная в вопросе,

г с^{2} "=" - р^{2} г α^{2} + г р^{2}

$ds^2 = -\rho^2 d\alpha^2 + d\rho^2$

это просто метрика плоского пространства Минковского $\mathbb R^{1,1}$ . Если мы сделаем преобразование координат,

α "=" а р с т а н час \frac{т}{Икс}, р "=" \sqrt{{Икс}^{2} - т^{2}}

$\alpha = \mathrm{arctanh} \frac{t}{x}, \quad \rho = \sqrt{x^2-t^2}$

то мы получаем знакомую метрику,

г с^{2} "=" - г т^{2} + г {Икс}^{2}

$ds^2 = -dt^2 + dx^2$

в $(-1, 1)$ подпись. Все символы Кристоффеля исчезают, и все компоненты геодезической являются линейными функциями $\tau$ , подходящее время. Возвращаясь к вашей постоянной по геодезическим,

л "=" р^{2} \frac{г α}{г т}

$l = \rho^2 \frac{d\alpha}{d\tau}$

уведомление $\rho^2 = x^2 - t^2$ и применяя цепное правило к нашему выражению для $\alpha(x(\tau),t(\tau))$ урожайность,

л "=" Икс (т) \frac{г т}{г т} - т (т) \frac{г Икс}{г т} .

$l = x(\tau) \frac{dt}{d\tau} - t(\tau)\frac{dx}{d\tau}.$

Принимая $t(\tau) = a\tau + b$ и $x(\tau) = c\tau + d$ , у нас есть,

л "=" а г - б с

$l = ad-bc$

что полностью $\tau$ независима и, следовательно, постоянна вдоль любой геодезической пространства Минковского. Обратите внимание на математическую интерпретацию $l$ : это вронскиан $x(\tau)$ и $t(\tau)$ , который определяет, являются ли они линейно независимыми или нет.

Майк Стоун · Answer 2

Это не прямой ответ на ваш вопрос, а скорее подсказка для дальнейшей работы. Ваша метрика — это «пространство Риндлера», которое представляет собой замаскированное плоское пространство-время. Координаты являются естественными для равноускоренного наблюдателя. См.: https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates .

О геодезических метрики ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 и константы l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {д\альфа}{д\тау}

Soof_fie

Ответы (2)

ДжамалС

Майк Стоун

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Выражение в замкнутой форме для положения как функции времени объекта, падающего прямо в черную дыру из бесконечности

Общая теория относительности Вальда, раздел 6.3, стр. 144

Кривизна света вокруг черной дыры [дубликат]

Решение геодезических на 2-сфере

Геодезические и параметризация

Круговая орбита в координатах Шварцшильда [закрыто]

Геодезические уравнения метрики FRW (символы Кристоффеля)