Группа Пуанкаре против группы Галилея

Важно различать три групповых действия, которые называются «галилеевскими»:

-Группа преобразований Галилея евклидова пространства (как группа автоморфизмов).

-Группа преобразований Галилея классического фазового пространства (алгебра Ли которой составляет подалгебру Ли алгебры Пуассона фазового пространства). Это классическое действие.

- Преобразования Галилея волновых функций (которые представляют собой неприводимые бесконечномерные представления). Это квантовое действие.

Только первое групповое действие не зависит от центрального расширения. И классические, и квантовые действия включают центральное расширение (которое иногда называют группой Баргмана). Таким образом, центральное расширение не является чисто квантово-механическим, однако верно то, что большинство учебников описывают центральное расширение для квантового случая. Сначала я объясню квантовый случай, затем вернусь к классическому случаю и сравним остальные случаи с группой Пуанкаре.

В квантовой механике волновая функция вообще не является функцией на конфигурационном многообразии, а является сечением сложного линейного расслоения над фазовым пространством. В общем случае поднятие симметрии (автоморфизм фазового пространства) является автоморфизмом линейного расслоения, которое, следовательно, является$\mathbb{C}$расширение автоморфизма базового пространства. В случае унитарной симметрии это будет$U(1)$расширение. Иногда это расширение тривиально, как в случае группы Пуанкаре. Теперь центральные расширения группы Ли$G$классифицируются группой когомологий группы$H^2(G, U(1))$. В общем, вычислить эти группы когомологий непросто, но случай групп Галилея и Пуанкаре можно эвристически понять следующим образом:

Применение группового действия Галилея$\dot{q} \rightarrow \dot{q}+v$к нерелятивистскому действию свободной частицы:$S = \int_{t_1}^{t_2}\frac{m }{2}\dot{q}^2dt$, производит полную производную, ведущую к$S \rightarrow S + \frac{m}{2}v^2(t_2-t_1) + mvq(t_2) - mvq(t_1)$: Теперь так как пропагандист$G(t_1, t_2)$трансформируется как$exp(\frac{iS}{\hbar})$и внутренний продукт$\psi(t_1)^{\dagger} G(t_1, t_2) \psi(t_2)$должна быть инвариантной, мы получаем, что волновая функция должна преобразовываться как:

$\psi(t,q) \rightarrow exp(\frac{i m}{2\hbar}(v^2 t+2vq) \psi(t,q)$

Теперь никакое применение гладкого канонического преобразования не может удалить полную производную из закона преобразования действия, это указывает на то, что центральное расширение нетривиально.

Случай группы Пуанкаре тривиален. Релятивистское действие свободной частицы инвариантно относительно действия группы Пуанкаре, поэтому преобразование волновой функции не приобретает дополнительных фаз, а расширение группы тривиально.

Классически фазовое пространство$T^{*}R^3$а действие бустов на импульсы определяется выражением:$p \rightarrow p + mv$, поэтому образующие бустов должны иметь вид$K = mvq$, то действие легко получается с помощью скобок Пуассона {q, p} = 1, а скобка Пуассона буста и переноса нетривиальна {K, p} = m.

Причина того, что действие алгебры Ли приобретает центральное расширение в классическом случае, заключается в том, что действие является гамильтоновым, то есть реализуется гамильтоновыми векторными полями, а векторные поля, вообще говоря, не коммутируют.

Разложение Ивасавы группы Лоренца дает ответ на ваш второй вопрос:

$SO^{+}(3,1) = SO(3) A N$куда$A$генерируется Boost$M_{01}$а также$N$абелева группа, порожденная$M_{0j}+M_{1j}$,$j>1$. Теперь обе подгруппы$A$а также$N$гомеоморфны как многообразия$R$а также$R^2$соответственно.

На ваш третий вопрос: предельный процесс, который производит группу Галилея из группы Пуанкаре, называется сокращением Винне-Иноню. Это сокращение дает нерелятивистский предел. Его отношение к квантовой механике состоит в том, что существует понятие сжатия унитарных представлений групп Ли, хотя и нетривиальное.

Обновлять

В классической механике наблюдаемые выражаются как функции на фазовом пространстве. см., например, главу 3 книги Баллентайна для явной классической реализации образующих группы Галилея.

Это тот случай, когда может быть выполнен полный рецепт геометрического квантования. См. следующие две статьи для обзора. (Полное доказательство находится на странице 95 второй статьи. Технические расчеты более читабельны на страницах 8-9 первой статьи).

Центральные расширения появляются в процессе предквантования.

• Во-первых, обратите внимание, что гамильтоновы векторные поля$X_f$соответствующие галилеевым генераторам алгебры Ли, близким к нецентрально расширенной алгебре (поскольку гамильтоново векторное поле постоянных функций обращается в нуль).

• Однако предквантованные операторы

$\hat{f} = f - i\hbar(X_f - \frac{i}{\hbar}i_{X_f} \theta)$, ($\theta$является симплектическим потенциалом, внешняя производная которого равна симплектической форме), близким к центрально расширенной алгебре, поскольку их действие изоморфно действию алгебры Пуассона.

Предквантованные операторы используются как операторы над гильбертовым пространством квадратно-интегрируемых поляризованных сечений, таким образом, они обеспечивают квантовую реализацию централизованно расширенной алгебры Ли.

Что касается вашего второго вопроса, то сокращение Винне-Инону действует на уровне абстрактной алгебры Ли, а не для ее конкретных реализаций. Данная реализация называется «квантовой», если она относится к реализации в гильбертовом пространстве (в отличие от реализации с помощью скобок Пуассона, которая является классической).

Вы по-прежнему задаете слишком много вопросов одновременно. Так что еще раз, подумайте о том, чтобы разделить их в следующий раз. Здесь я остановлюсь только на части топологии.

В качестве топологических пространств имеем

$$SO(3) = {\mathbb R \mathbb P}^3 = S^3 /\sim ,$$ $$SO(4) = S^3 \times S^3 / \sim,$$ $$SO^+(1,3) = {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$$ (во всех этих случаях $\sim$является отождествлением противоположных точек на соответствующих сферах). Эти результаты можно получить, заметив, что двойное покрытие $SO(3)$является $SU(2)$, двойная обложка $SO(4)$является $SU(2) \times SU(2)$и двойная обложка $SO^+(1,3)$является $SL(2, {\mathbb C})$. (Обратите внимание, что приведенные выше факторизации также можно записать в виде $X/({\mathbb Z} / 2{\mathbb Z})$что является факторизацией пространства действием группы на пространстве; в этом случае действие отправляет точку в противоположную точку).

Добавление переводов означает использование только полупрямого произведения на уровне групп или прямого произведения на уровне топологических пространств. Итого имеем, что компонента связности группы Пуанкаре есть${\mathbb R}^4 \times {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$. Что касается страницы в Википедии, я не уверен в вашем замешательстве. Он определяет группу Пуанкаре как${\mathbb R}^4 \rtimes O(1,3)$и топологически это непересекающееся объединение четырех копий${\mathbb R}^4 \times {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$.