Унитарные неприводимые представления маленькой группы SO(3)SO(3)SO(3)

В настоящее время я работаю над методом индуцированных представлений, чтобы вычислить унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре.

Условные обозначения/обозначения

Подпись метрики$= (-,+,+,+)$

$c=\hbar=1$

Индексы i,j,k превышают 1,2,3, в то время как любые другие латинские индексы превышают 0,1,2,3.

$x^a=(t, \vec{x})$

Контекст

В этой теме я рассмотрю (положительно определенный) случай ненулевой массы. Я приму стандартный импульс за$k^a=(m,0,0,0)$где m - квадратный корень из собственного значения оператора Казимира.$C_1=-P^aP_a$. Соответствующая маленькая группа$H_{k}=SO(3)$.

Второй оператор Казимира есть квадрат вектора Паули-Любанского;$C_2=W^aW_a$. Для стандартного импульса$W^a=(0,mJ^i)$где$J^i$является i-й генератором вращений (т.е. вокруг i-й пространственной оси). Таким образом,$C_2=m^2\vec{J}\cdot\vec{J}$. Из КМ мы знаем собственные значения$J^2$являются$s(s+1)$. Итак, по лемме Шура для любого неравенства группы Пуанкаре$C_2=m^2s(s+1)\text{Id}$. Id — это оператор идентификации... \mathbb{1} не будет работать.

Таким образом, если я зафиксирую значение для m (и, следовательно, зафиксирую поверхность массовой оболочки), то унитарные иррепы группы Пуанкаре (для этого m) классифицируются по «спину» s.

В этом случае метод индуцированных повторений может быть выражен как:

Итак, чтобы выяснить, как однородное преобразование Лоренца$U(\Lambda)$действует на государство$|p,\sigma\rangle$, нам нужно вычислить унитарные невозвраты маленькой группы.

По соглашению я возьму стандартное преобразование Лоренца,$L(p)$, быть

Вопрос/Попытка решения

К сожалению, в моем нерелятивистском классе QM во время бакалавриата мы никогда не говорили о спиновых представлениях группы вращения.$SO(3)$, поэтому сейчас я пытаюсь восполнить этот пробел. Я немного запутался в том, как мы собираемся строить унитарные невозвраты$SO(3)$, в частности, я не очень уверен, как вычислить матричные элементы$\mathcal{D}^{(s)}(h(\Lambda,\sigma))_{\sigma'\sigma}$. Это мой вопрос, и вот что у меня есть до сих пор.

Пытаясь сопоставить то, что я изучил на QM старшекурсника, и вышеизложенное, я пришел к следующим выводам:

• Для массивного случая (и для стандартного импульса, так что мы находимся в системе покоя)$\sigma$(которые должны представлять любые степени свободы, отличные от 4-импульса) соответствуют «магнитному квантовому числу»,$m_j$.
• Для заданного спина s$\sigma=m_j = \{-s,-s+1,..,s-1,s\}$. Вот я беру$j=l+s=s$так как мы находимся в системе покоя и нет «орбитального углового момента» ($l=0$). Следовательно, для данной массы m размерность иррепрезентации маленькой группы равна$2s+1$.

Задайте 3-вектор$S^i=\frac{1}{m}W^i=\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}J^{jk} \implies \vec{S}\cdot\vec{S}=s(s+1)\text{Id}$который подчиняется следующей алгебре:

Обычным способом мы можем решить, что:

Согласно Вайнбергу, для бесконечно малого вращения$R_{ik}=\delta_{ik}+\Theta_{ik}$, у нас есть это

Чтобы получить представление конечного вращения, нам нужно возвести в степень бесконечно малый случай:

Итак, мы можем вычислить унитарные представления маленькой группы$SO(3)$к:

Мы можем вычислить это явно, используя уравнения (2) и (3), и поэтому для фиксированного s размер матрицы D будет (2s+1)(2s+1).

Я думаю, что то, что я сказал до сих пор, в основном верно (но я хотел бы получить некоторое подтверждение). Если то, что я сказал, действительно верно, то проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что я не знаю, как переводить между$\mathcal{D}^{(s)}(h(\Lambda,p))_{\sigma'\sigma}$и$\mathcal{D}^{(s)}(R(\vec{\theta}))_{\sigma'\sigma}$. Например, учитывая (4), как я могу вычислить соответствующие матричные элементы$\mathcal{D}^{(s)}(h(\Lambda,p))_{\sigma'\sigma}$? Я знаю, что должно быть отношение, потому что они оба просто вращения. Так что я могу сделать вывод, что$\vec{\theta}=\vec{\theta}(\Lambda,p)$. Но кажется, что стандартный способ вычисления желаемых матричных элементов заключается в использовании стандартных преобразований Лоренца, которые я предоставил в разделе контекста... но мне кажется, что это полезно, только если у нас есть явный метод для вычисления элементов представительства$h(\Lambda,p)$, как уравнение (4). Есть ли такое явное выражение? Ваше здоровье.