Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

Question

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

Кайус

Извините, если это наивный вопрос, но я новичок в QFT. При рассмотрении рассеяния в разделе 3.1 Квантовой теории полей , том 1, Вайнберг впервые представил общее правило преобразования для нескольких невзаимодействующих частиц под действием элемента группы Пуанкаре. $(\Lambda, a)$ (стр. 108, уравнение (3.1.1)):

U (Λ, а) Ψ_{п_{1}, о_{1}, н_{1}; п_{2}, о_{2}, н_{2}; \dots} "=" опыт (- я а_{мю} ((Λ п_{1})^{мю} + (Λ п_{2})^{мю} + \dots)) \times \sqrt{\frac{(Λ п_{1})^{0} (Λ п_{2})^{0} \dots}{п_{1}^{0} п_{2}^{0} \dots}} \sum_{о_{1}^{'} о_{2}^{'} \dots} Д_{о_{1}^{'} о_{1}}^{({Дж}_{1})} (Вт (Λ, п_{1})) Д_{о_{2}^{'} о_{2}}^{({Дж}_{2})} (Вт (Λ, п_{2})) \dots \times Ψ_{Λ п_{1}, о_{1}^{'}, н_{1}; Λ п_{2}, о_{2}^{'}, н_{2}; \dots} .

$U(\Lambda, a)\Psi_{p_1,~\sigma_1,~n_1;~p_2,~\sigma_2,~n_2;~\cdots} =\exp\left( -ia_\mu((\Lambda p_1)^\mu + (\Lambda p_2)^\mu+\cdots) \right) \times\sqrt{\displaystyle{\frac{(\Lambda p_1)^0(\Lambda p_2)^0\cdots}{p_1^0p_2^0\cdots}}}\sum_{\sigma'_1~\sigma'_2~\cdots} D_{\sigma'_1~\sigma_1}^{(j_1)}\left( W(\Lambda,p_1) \right) D_{\sigma'_2~\sigma_2}^{(j_2)}\left( W(\Lambda,p_2) \right) \cdots \times \Psi_{\Lambda p_1,~\sigma'_1,~n_1;~\Lambda p_2,~\sigma'_2,~n_2;~\cdots}.$ Здесь

Λ

$\Lambda$ является произвольным однородным преобразованием Лоренца и

a

$a$ это пространственно-временной перевод, применяемый после

Λ

$\Lambda$ . Этикетки

p_{1}, σ_{1}, n_{1}; p_{2}, σ_{2}, n_{2}; \dots

$p_1,~\sigma_1,~n_1;~p_2,~\sigma_2,~n_2;~\cdots$ представляют состояния частиц, причем первая частица имеет импульс

p_{1}

$p_1$ , вращаться

σ_{1}

$\sigma_1$ , заряжать

n_{1}

$n_1$ и так далее. в

D

$D$ являются матрицами вращения Вигнера, не имеющими прямого отношения к настоящему вопросу.

Я вполне уверен в понимании этого уравнения, поскольку оно непосредственно следует из предыдущей главы. Однако меня смущает, когда Вайнберг говорит, что $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ если мы установим $\Lambda^{\mu}_{~~\nu} = \delta^{~\mu}_{~~~\nu}$ и $a^{\mu}\sim(0,0,0,\tau)$ (четвертый компонент время). Как я понимаю, $H$ в этой главе больше не обозначает гамильтониан свободных частиц, как в главе 2, а обозначает «полный» гамильтониан с включенным взаимодействием. Наиболее наглядно это видно из его уравнения (3.1.8). Следовательно, иск $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ это просто утверждение, что гамильтониан порождает эволюцию во времени, что следует, ну, из уравнения Шредингера. (Отсутствие знака минус в экспоненциальном существе из-за «пассивного» взгляда, которого мы придерживаемся.) Но я действительно сомневаюсь, что это правильное понимание, поскольку Вайнберг не сделал явного упоминания об уравнении Шредингера или эволюции во времени любого рода. до этого места в книге.

Еще больше меня смутило его утверждение в среднем абзаце на странице 109:

Чтобы поддерживать явную лоренц-инвариантность, в формализме, который мы здесь используем, векторы состояния не меняются со временем — вектор состояния $\Psi$ описывает всю пространственно-временную историю системы частиц. (Это известно как картина Гейзенберга ...)

Теперь в картине Гейзенберга эволюция времени осуществляется операторами, а не вектором состояния. Тогда как получилось, что эволюция времени $\tau$ приведет к $\exp(iH\tau)$ действует на государственный вектор? Также я не могу понять смысл использования картины Гейзенберга для поддержания явной лоренц-инвариантности.

Подводя итог, вот мои основные вопросы:

(1) Является ли утверждение «если мы установим $\Lambda^{\mu}_{~~\nu} = \delta^{~\mu}_{~~~\nu}$ и $a^{\mu}\sim(0,0,0,\tau)$ , затем $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ ' включают в себя неявное применение уравнения Шредингера или некоторого уравнения временной эволюции подобного рода?

(2) Как тот факт, что мы используем картину Гейзенберга, согласуется с изменением вектора состояния при таком специальном выборе $U(\Lambda, a)$ ?

(3) Почему применение картины Гейзенберга позволяет нам увидеть явную лоренц-инвариантность? Как я могу это увидеть?

Я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь мог предложить мне несколько советов или идей или просто указать, где я ошибся.

Ответы (2)

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

Хиггсс · Answer 1

(1) Оператор $U(\Lambda,a)$ представляет собой унитарное «вращение» в гильбертовом пространстве, соответствующее неоднородному преобразованию Лоренца пространственно-временных координат. Когда $U(\Lambda,a)=\exp(iH\tau)$ , это оператор, который переводит часы вперед с помощью $\tau$ . Концептуально это не эволюция системы в физическом времени.

(2) Унитарное вращение $U$ в гильбертовом пространстве преобразует как операторы, так и состояния по той же причине, что и вращение в $\mathbb{R}^{3}$ преобразует векторы, а также матрицы, действующие на векторы. То есть у нас есть $\hat{O}\Psi$ $\rightarrow$ $\hat{O}^{\prime}\Psi^{\prime}$ , где $\hat{O}^{\prime} = U\hat{O}U^{-1}$ и $\Psi^{\prime} = U\Psi$ . Это справедливо как для картин Гейзенберга, так и для картин Шредингера.

(3) У кого-то может быть лучший ответ, но что касается самой теории рассеяния, я не вижу преимущества картины Гейзенберга перед картиной Шёдингера. Однако, когда мы знаем, что работаем с квантовой теорией поля, более естественно использовать картину Гейзенберга, потому что она рассматривает пространство и время на равных основаниях. То есть в этой картине операторы квантового поля являются функциями пространства-времени, а состояния вообще не зависят от пространства-времени. С другой стороны, в картине Шёдингера квантовые поля зависят только от пространственных координат, а состояния зависят только от времени.

Спасибо! Ваш ответ заставляет меня понять, что я путаю временной перевод с временной эволюцией. Перевод времени означает просто настройку часов наблюдателя в «пассивной» точке зрения или перестройку наших экспериментов так, чтобы все происходило в более позднее время в «активной» точке зрения, где эволюция времени связана с динамикой. Поскольку перевод во времени ничем не отличается от вращения или пространственного переноса, разрешено изменять состояния изображения Гейзенберга, а также операторы.
Кажется, это на правильном пути, но не будет ли генератором переноса времени быть гамильтониан свободной частицы, то есть $H_0 = (p^0)_1 + (p^0)_2 + \cdots$ где $(p^0)_i$ это временная составляющая $i$ оператор импульса -й частицы, а не $H$ , «полный» гамильтониан с включенным взаимодействием?
Генератором переноса времени является полный гамильтониан $H$ . Несмотря на то, что взаимодействие включено здесь, $E = p_{1}^{0} + p_{2}^{0} + \cdots$ потому что мы рассматриваем состояния in и out, которые не взаимодействуют в пределе $t \to \mp \infty$ . Точнее, волновой пакет, построенный из состояний in(out), будет состоять из частиц, бесконечно удаленных друг от друга на $t \to -\infty$ ( $+\infty$ ).

Имя ГГГ · Answer 2

Всего один комментарий к ответу higgsss.

Формально из теоремы Вигнера мы имеем, что если существует симметрия сдвига во времени, для которой сохраняется скалярное произведение квантово-механических лучей,

\begin{matrix} (1) & | ⟨ ψ (т) | κ (т) ⟩ | "=" | ⟨ ψ^{'} (т + т) | κ^{'} (т + т) ⟩ |, \end{matrix}

$\tag 1 |\langle \psi (t)|\kappa (t)\rangle| = |\langle \psi{'}(t+\tau)| \kappa{'}(t+\tau) \rangle|,$ то преобразование симметрии действует на

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ как линейный унитарный оператор (или антилинейный антиунитарный, который не реализуется для симметрии временного сдвига),

U "=" е^{я \hat{ЧАС} т}

$U = e^{i\hat{H}t}$

\hat{H}

$\hat{H}$ имеет формальный смысл генератора перевода времени, а физический смысл энергии системы. Утверждение теоремы не зависит от деталей системы (т. е. это может быть множество свободных невзаимодействующих одночастичных состояний или такая взаимодействующая система), кроме свойства

(1)

$(1)$ .

Интерпретация перевода времени может быть активной или пассивной. С пассивной точки зрения существует множество наблюдателей, связанных друг с другом преобразованием симметрии и описывающих одну и ту же систему. Здесь мы видим не эволюцию, а преобразование симметрии.

Однако с активной точки зрения наблюдатель один, а сама система претерпевает преобразование временной симметрии (т. е. изменяется во времени). Другими словами, благодаря активной точке зрения, преобразованной состоянием преобразования симметрии

| ψ^{'} ⟩ \equiv | ψ (т) ⟩

$|\psi{'}\rangle \equiv |\psi(t)\rangle$ это государство, которое возникло из государства

| ψ ⟩ "=" | ψ (0) ⟩

$|\psi\rangle = |\psi (0)\rangle$ По теореме Вигнера и активной точке зрения имеем, что

| ψ (т) ⟩ "=" е^{- я ЧАС т} | ψ (0) ⟩,

$|\psi (t)\rangle = e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,$ т. е. уравнение Шрёдингера.

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

Кайус

Ответы (2)

Хиггсс

Кайус

Кайус

Хиггсс

Имя ГГГ

КТП Вайнберга 1 Нормализация одного состояния 1 частицы с. 66

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Простое моделирование QFT - как это сделать

Почему корреляционные функции определяются только как упорядоченные по времени?

Вопрос о выводе Вайнбергом одночастичных состояний по группе Пуанкаре.

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Внутренний продукт Клейна-Гордона

Генераторы групп Пуанкаре.

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Образуют ли лестничные операторы aaa и a†a†a^\dagger полный базис алгебры?