Небольшое преобразование симметрии может изменить лагранжиан полной производной по времени от некоторой функции . Это основной факт, используемый при доказательстве теоремы Нётер.
Как мы можем увидеть влияние этого члена полной производной в гамильтоновой структуре? Есть ли хороший пример для работы? Я не могу думать ни об одном из верхней части моей головы. Мне просто кажется странным, что вся эта возня с полными производными исчезает в рамках гамильтоновой системы.
И) Отказ от ответственности. Как пурист, я не одобряю обычную практику называть смысл
II) Вместо этого «гамильтонова версия теоремы Нётер» должна относиться к квазисимметриям гамильтонова действия.
III) Это недоразумение, что вся эта суета вокруг полных производных [...] исчезает в гамильтоновой структуре. Гамильтонова версия позволяет гамильтонову действию быть инвариантным только до граничных членов (т. е. так называемой квазисимметрии ), как и в стандартной лагранжевой формулировке теоремы Нётер . См. также соответствующий пост Phys.SE.
Я полагаю, что нашел «ответ» на свой очень расплывчатый вопрос, хотя другие ответы здесь также полезны. «Гамильтоновский лагранжиан» — это
Итак, мы можем видеть, что обязательно меняется на полную производную. Когда количество , полная производная равна . Это происходит, когда сохраняемая величина имеет вид
Причина, по которой мы не говорим об «замене гамильтониана полной производной», заключается в том, что симметрии и законы сохранения обычно обрабатываются в гамильтоновой картине по-разному.
В гамильтоновой механике любая функция на фазовом пространстве порождает поток на фазовом пространстве, т.е. однопараметрическое семейство канонических преобразований . Индуцированная скорость изменения любой другой функции фазового пространства является
Таким образом, при заданном бесконечно малом каноническом преобразовании, сохраняющем то же, его образующая является сохраняющейся величиной. Это самая близкая к теореме Нётер вещь, которую вы обычно видите в гамильтоновой механике. Поскольку речь идет только , а не интеграл от , о сохранении говорить не приходится инвариантным с точностью до полной производной — он просто должен быть инвариантным, и точка. (Но также см. ответ Qmechanic о формулировке, похожей на действие, где она появляется.)
пользователь1379857
Qмеханик