Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Question

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Стивен Монтгомери-Смит

Оглядываясь вокруг, я вижу одну версию теоремы Нётер, которая создает сохраняющиеся величины из симметрий, сохраняющих лагранжиан (например, http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html ), и другую теорему, также называемую теоремой Нётер, которая находит сохраняющиеся величины. величин, наблюдая, коммутируют ли они по Пуассону с гамильтонианом (например, стр. 29 http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/chapter.pdf ).

Являются ли эти два результата одними и теми же замаскированными результатами?

Например, Терри Тао в http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/chapter.pdf на стр. 83 выводит общий заряд $\int |u|^2 \, dx$ как инвариант свободного уравнения Шредингера, Он говорит, что это следствие отображения $u \mapsto e^{i\phi} u$ . Я попытался записать уравнение Шредингера в лагранжевой форме, решив, что действительная часть $u$ будет «позиция», а мнимая часть $u$ будет «импульс». но тогда карта $u \mapsto e^{i\phi} u$ в конечном итоге это была карта, которая не отображала позицию в новую позицию, а скорее смешивала позицию и скорость довольно неприятным образом. Будет ли какой-то другой разумный выбор для определения того, какие переменные являются «позицией» и «импульсом», что приведет к тому, что общий заряд возникнет как сохраняемая величина, заданная http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html ?

Стивен Монтгомери-Смит

Также спросил здесь: math.stackexchange.com/q/1466389

удрв

«Являются ли эти два результата фактически одними и теми же замаскированными результатами?» Да, они. См. ответ на этот связанный вопрос: physics.stackexchange.com/q/69271

Ответы (1)

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Также спросил здесь: math.stackexchange.com/q/1466389
«Являются ли эти два результата фактически одними и теми же замаскированными результатами?» Да, они. См. ответ на этот связанный вопрос: physics.stackexchange.com/q/69271

Qмеханик · Answer 1

I) Как пурист, я не одобряю обычную практику называть смысл

\begin{matrix} (1) & {Вопрос, ЧАС} + \frac{\partial Вопрос}{\partial т} "=" 0 \Rightarrow \frac{д Вопрос}{д т} \approx 0. \end{matrix}

$\tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$ о «гамильтоновой версии теоремы Нётер» см. мой ответ Phys.SE здесь .

Более того, импликация (1) не эквивалентна полной теореме Нётер по разным причинам. Во-первых, проблема возможного сингулярного преобразования Лежандра может затруднить сравнение лагранжевой и гамильтоновой формулировок. Во-вторых, теорема Нётер работает и для так называемых горизонтальных вариаций вида $\delta t=\ldots$ не учтено в (1).

Скорее импликация (1) является просто тривиальным следствием уравнений Гамильтона. См. также, например, nLab .

II) Что касается примера OP со свободным полем Шредингера, формулировка Гамильтона обсуждается, например, в этом посте Phys.SE. Предложение ОП разделить на реальную и мнимую части

\begin{matrix} (1) & ф "=" (ф^{1} + я ф^{2}) / \sqrt{2} \end{matrix}

$\tag{1} \phi~=~(\phi^1+i\phi^2)/\sqrt{2}$ строго говоря, не нужно, см. например , этот пост Phys.SE, но логика несколько проще, если разделить. Ненулевая фундаментальная скобка Пуассона имеет вид

\begin{matrix} (2) & {ф^{1} (Икс, т), ф^{2} (у, т)} "=" {дельта}^{3} (Икс - у) . \end{matrix}

$\tag{2} \{\phi^1({\bf x},t),\phi^2({\bf y},t)\}~=~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}).$

Бесконечно малый глобальный(= ${\bf x}$ -независимая) фазовая симметрия

\begin{matrix} (3) & дельта ф "=" - я ϵ ф, \end{matrix}

$\tag{3} \delta \phi~=~-i\epsilon \phi,$

где $\epsilon$ является бесконечно малым параметром, читается в компонентах

\begin{matrix} (4) & дельта ф^{1} "=" ϵ ф^{2} и дельта ф^{2} "=" - ϵ ф^{1} . \end{matrix}

$\tag{4} \delta \phi^1~=~\epsilon \phi^2\qquad\text{and}\qquad \delta \phi^2~=~-\epsilon \phi^1.$

Тогда нулевая компонента нётеровского 4-тока равна

\begin{matrix} (5) & {Дж}^{0} "=" ф^{2} \frac{\partial л}{\partial {\dot{ф}}^{1}} - ф^{1} \frac{\partial л}{\partial {\dot{ф}}^{2}} "=" | ф |^{2} . \end{matrix}

$\tag{5} j^0~:=~\phi^2\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^1} -\phi^1\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^2}~=~|\phi|^2.$

Следовательно, заряд Нётер равен

\begin{matrix} (6) & Вопрос (т) "=" \int д^{3} Икс {Дж}^{0} (Икс, т) "=" \int д^{3} Икс | ф (Икс, т) |^{2} . \end{matrix}

$\tag{6} Q(t)~:=~ \int d^3x~ j^0({\bf x},t)~=~ \int d^3x|\phi({\bf x},t)|^2.$

Легко видеть, что этот нётеровский заряд (6) порождает бесконечно малую глобальную фазовую симметрию (4)

\begin{matrix} (7) & дельта ф^{1} "=" ϵ {ф^{1}, Вопрос} и дельта ф^{2} "=" ϵ {ф^{2}, Вопрос}; \end{matrix}

$\tag{7} \delta \phi^1~=~\epsilon \{\phi^1,Q\} \qquad\text{and}\qquad \delta \phi^2~=~\epsilon\{\phi^2,Q\} ;$

что он коммутирует по Пуассону с плотностью гамильтониана

\begin{matrix} (8) & ЧАС "=" \frac{1}{2 м} | \nabla ф |^{2} "=" \frac{1}{4 м} (\nabla ф^{1})^{2} + \frac{1}{4 м} (\nabla ф^{2})^{2}; \end{matrix}

$\tag{8} {\cal H}~:=~\frac{1}{2m}|\nabla\phi|^2 ~=~\frac{1}{4m}(\nabla\phi^1)^2 +\frac{1}{4m}(\nabla\phi^2)^2;$

и что он сохраняется в оболочке.

Помимо Терри Тао, в 9-й неделе этих лекций есть Джон Баэз и Дерек Уайз , которые ссылаются на ур. (1) как гамильтонова версия теоремы Нётер.

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Стивен Монтгомери-Смит

Стивен Монтгомери-Смит

удрв

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Почему формулировки Лагранжа и Гамильтона дают одни и те же сохраняющиеся величины для одних и тех же симметрий?

Что делает с гамильтонианом HHH симметрия, которая заменяет лагранжиан полной производной?

Существует ли своего рода теорема Нётер для гамильтонова формализма?

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Почему симметрии в фазовом пространстве порождаются функциями, оставляющими гамильтониан инвариантным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка