Когда справедлива теория возмущений многих тел?

Я вычисляю ожидаемые значения (тепловые, не зависящие от времени), используя теорию возмущений многих тел, но я не уверен, как определить, какие значения может принимать параметр, который я расширяю в ряд возмущений.

Я читал, что это когда элементы матрицы, ⟨ я | ЧАС п е р т | Дж ⟩ где ЧАС п е р т является пертурбативным членом гамильтониана и | я ⟩ и | Дж ⟩ — собственные векторы невозмущенного гамильтониана, много меньше разности энергий между я и Дж . Но я не очень понимаю, что это значит, или как это помогает мне рассчитать, какие значения может принимать мой параметр возмущения. Есть ли метод, который я могу использовать, чтобы понять это?

Редактировать:

В соответствии с просьбой, чтобы сделать это конкретным, у меня есть одномерная фермионная модель Хаббарда с гамильтонианом

ЧАС "=" − т ∑ ⟨ л , м ⟩ ( с л † с м + час . с . ) + U ∑ л ( н л ↑ − 1 / 2 ) ( н л ↓ − 1 / 2 )

У меня есть особый случай, когда я знаю, что U очень мало, и я хочу использовать теорию возмущений многих тел, чтобы увидеть ее влияние на корреляционные функции. Я вычисляю корреляционные функции, используя метод функционального интеграла (т.е. вычисляя функциональную статистическую сумму). В этом случае, как я могу узнать, насколько мала U должно быть, чтобы теория возмущений была справедливой?

Во-вторых, (если это должен быть отдельный вопрос, пожалуйста, дайте мне знать!) если вместо этого у меня есть случайный U , в зависимости от его положения в решетке,

ЧАС "=" − т ∑ ⟨ л , м ⟩ ( с л † с м + час . с . ) + ∑ л U л ( н л ↑ − 1 / 2 ) ( н л ↓ − 1 / 2 )

Затем я могу использовать аналогичный метод функционального интеграла, но взять среднее значение по функциональной статистической сумме (например, по распределению Гаусса). Это среднее удаляет U л и листья Δ , дисперсия распределения, по которому мы усреднили. В данном случае это Δ в котором расширен ряд возмущений. Как мне найти, насколько малы Δ должно быть, чтобы ряд возмущений был достоверным?

Мне не нужен ответ, верный для любой системы, я просто хочу понять, как найти его для любой системы. Поэтому, если кто-нибудь знает другую систему, в которой показано, насколько маленьким должен быть срок расширения, пожалуйста, дайте мне знать.

Спасибо.

Важно ли many-bodyв вашем вопросе? Мне кажется, что внимательное чтение теории возмущений поможет.
@misha Да, многотелость важна. Я рассчитываю ожидаемые значения из функциональной статистической суммы. Я читал об этом виде теории возмущений во многих местах, но ни один из них не сосредоточился на этом. Если вы знаете о таких, это было бы здорово!
Вы должны сказать, что вы просите пертурбативную трактовку пространственно-переменных скачков в модели Хаббарда, это делает проблему конкретной. На этот вопрос нет общего ответа, потому что он чувствительно зависит от вещей, которые невозможно сформулировать в терминах грубых границ матричных элементов.
@Calvin Пытаясь сделать вопрос общим, вы потеряли некоторые важные детали. Нет, я не знаю многих моделей Хаббарда. Однако ваша идея о том, что теория возмущений там должна отличаться от теории возмущений в других местах, кажется неестественной. Таким образом, я предполагаю, что ваш вопрос касается не теории возмущений, а того, как применить возмущение к конкретной задаче, которую вы (к сожалению) не сформулировали в вопросе.
@ Миша, я обновил свой вопрос. Причина, по которой я сделал это общим, заключается в том, что я хочу знать, когда возмущение действительно для любой модели, а не только для этой. Под этим я не подразумеваю что-то, что верно для любой системы; Я имею в виду, что я хотел бы понять, как найти систему. Если вы знаете какие-либо примеры (не только с моделью Хаббарда), пожалуйста, укажите мне правильное направление. Спасибо.
@ Рон Я отредактировал свой вопрос, плюс, пожалуйста, посмотрите комментарий, который я написал Мише, чтобы понять, почему я сделал его общим. - Мне не нужен ответ, верный для любой системы, я просто хочу понять, как найти его для любой системы. Спасибо.

Ответы (3)

Ваш «параметр возмущения» должен быть чем-то, что устанавливает масштаб ЧАС п е р т -- то есть размер указанных вами матричных элементов по сравнению с голыми энергиями невозмущенной задачи, точное решение которой вы знаете. Чтобы понять, почему это так, вам просто нужно взглянуть на явный вклад второго порядка из (невырожденной!) теории возмущений, скажем, для основного состояния:

Е 0 ( 2 ) "=" − ∑ Дж ≠ 0 ⟨ 0 | ЧАС п е р т | Дж ⟩ ⟨ Дж | ЧАС п е р т | 0 ⟩ Е Дж − Е 0

Вы можете прочитать, что это будет только небольшая поправка (и она должна быть небольшой поправкой, если мы хотим урезать здесь расширение), если вы можете оправдать, что эти матричные элементы меньше, чем разница энергий между состояниями. Если вы не можете этого сделать (скажем, вы не можете контролировать силу возмущения), то вы не можете доверять расширению возмущения.

Редактировать 1: когда мы получаем расширение возмущения, обычный рецепт состоит в том, чтобы сделать что-то в этом роде. ЧАС "=" ЧАС 0 + α ЧАС п е р т , как вы говорите, потом расширять в альфе -- но надо иметь в виду, что этот парень α — это бухгалтерское устройство, которое позволяет нам убедиться, что мы правильно сгруппировали все термины по их порядку в альфа-канале! После того, как мы закончим учет и группировку терминов, α → 1 всегда . Это не часть физики, и мы не можем с ней играть. Мы расширили его как формальное устройство. Настоящим малым параметром будет отношение общего энергетического масштаба ЧАС п е р т к ЧАС 0 .

Позвольте мне привести пример. Фермионная модель Хаббарда имеет два члена: (1) легко диагонализируемое локальное взаимодействие с кулоновской шкалой энергии, называемой U ; (2) член скачкообразной перестройки ближайшего соседа, который не может быть диагонализирован в том же базисе, со шкалой энергии (~ полосой пропускания), называемой т . Можем ли мы доверять теории возмущений, исходя из этого базиса (т. е. принимая перескоки за возмущение), зависит только от безразмерного масштаба т / U , а не бухгалтерский параметр, который мы использовали для получения формальных членов разложения.

Да, под параметром возмущения я имею в виду α со сроком α ЧАС п е р т в гамильтониане. Но я рассматриваю термодинамический предел, поэтому никак не могу вычислить, мал ли он для всех возможных я и Дж в любом случае. Есть ли другой способ определить, насколько мал α должно быть (или я неправильно понял)?
Хм. Это может помочь мне понять ваш вопрос, если вы сообщите мне явную модель, которую вы используете. Я собираюсь внести изменения в свой ответ, и вы скажете мне, если я полностью упускаю суть. :)
Для меня параметр α это т в фермионной модели Хаббарда, и я хочу расширить α . Модель Хаббарда хороша в качестве примера, но я могу отредактировать вопрос, включив в него больше деталей моей собственной модели, если хотите?
«общая энергетическая шкала $H_{\rm{pert}$» может включать плотность состояний и/или температуру системы.
@wsc На самом деле, точнее, если у меня есть модель Хаббарда, но с т зависит от того, где он находится в системе (т.е. он зависит от л , Положение). Затем я усредняю н реплики функции разделения для удаления т л , а затем у меня остается параметр Δ что является дисперсией распределения т л . Это Δ Затем я расширяюсь. Это другой вопрос, но я хотел бы знать ответ как на этот, так и на этот случай, не усредняя использование т .
Это очень интересная система, и ее следует особо упомянуть в основной части вопроса. Не существует общего независимого от системы ответа для области достоверности или точности ряда возмущений.
@wsc Есть идеи?
Хм. Не совсем. Я имею в виду, похоже, вам нужно количественное правило — что-то вроде «при таком порядке теории возмущений мой радиус сходимости равен т / U до $NUMBER.' Я даже не знаю системно- зависимого способа оценить это, вам просто нужно рассчитать и посмотреть, как ваш ряд сходится (или колеблется и расходится :( пусть будет так, для этого есть приемы...)

Для оценки применимости теории возмущений в конкретном случае можно применить вариационную теорию возмущений:

Включите некоторые параметры в свою теорию свободного сравнения с соответствующими контртерминами во взаимодействии и сделайте теорию возмущений как функцию этих параметров. Как правило, лучший выбор параметра — это тот, при котором отклики меньше всего зависят от небольших изменений параметров, а то, насколько сильно изменяются отклики, дает вам представление о том, какой точности вы можете ожидать от своего расчета.

В некоторых случаях улучшение резкое; см., например, http://en.wikipedia.org/wiki/Variational_perturbation_theory

Перенормировки в квантовой теории поля представляют собой конкретную реализацию вариационной теории возмущений, где вариация необходима для получения конечных результатов. См. мою статью "Перенормировка без бесконечностей - учебник" http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf

Я думаю, что мы должны сначала точно определить, о чем мы говорим: обычный способ определить теорию перестановок многих тел с конечной температурой состоит в том, чтобы разделить гамильтониан на две части. ЧАС "=" ЧАС 0 + λ В а затем разложить значения теплового ожидания в ряд возмущений, зависящих от времени (также известный как ряд Дайсона):

⟨ А ⟩ "=" 1 Z Т р ( е − β ЧАС А ) "=" 1 Z ∑ к "=" 0 ∞ ( − λ ) к к ! ∫ 0 β г к т   е − β ЧАС 0   Т [ А   В ( т 1 ) ⋯ В ( т к ) ]

Вопрос о том, является ли это «действительным», на самом деле состоит из нескольких частей:

  1. Сходится ли этот ряд, если мы идем к бесконечному порядку ? Для модели Хаббарда, да и вообще для любой модели с конечной решеткой и примесями, ответ положительный , потому что решетка упорядочивает ультрафиолетовую расходимость ряда. (Нам нужно быть немного осторожнее в термодинамическом пределе.)

  2. Является ли каждый эффект пертурбативным, т. е. можем ли мы в какой-то момент обрезать ряд возмущений, чтобы получить его ? Здесь ответ на удивление отрицательный , даже для малых значений λ . Известным контрпримером является эффект Кондо, представляющий собой минимум аномального сопротивления в металлах с небольшим количеством магнитных примесей. Этот эффект невозмущающий.

  3. Можем ли мы использовать члены ряда более высокого порядка, чтобы измерить ошибку разложения ? Здесь ответ, к сожалению, не осмысленный . Это сложно в твердотельных системах: в то время как, например, ваша полная энергия может быстро сходиться с порядком расширения, эффекты многих тел, которые имеют гораздо меньший масштаб, часто перестраивают ваши уровни энергии, поэтому вы все равно можете получить неправильное основное состояние.

    Чтобы сделать это более конкретным, возьмем межэлектронное взаимодействие U как параметр расширения. Первый член энергетического разложения дается Хартри-Фоком:

    Е ( 1 ) "=" ∑ я Дж к л ( U я Дж к л − U я Дж л к ) ⟨ с я † с к ⟩ ⟨ с Дж † с л ⟩
    Практически для любой твердотельной системы Хартри-Фока вносит наибольший вклад в электронную энергию: его характерный масштаб составляет 10 эВ или 110 000 К, тогда как энергетический масштаб, например, для эффекта Кондо, обычно составляет порядка 10–10 000 К. 100 К. Таким образом, ваш критерий должен работать, и Хартри-Фок должен дать нам достаточно хороший ответ для свойств твердого тела или молекулы. Для многих материалов это на самом деле верно, но есть системы, самые известные из которых сильно коррелированы, в которых Хартри-Фок катастрофически терпит неудачу, приводя к неправильному основному состоянию, неправильным спектрам возбуждения и т. д.

Когда справедлива теория возмущений многих тел?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v