Вычисление ядра с использованием интегралов по путям для квадратичных лагранжианов

Question

Вычисление ядра с использованием интегралов по путям для квадратичных лагранжианов

Анонимный

Я читаю Фейнмана и Хиббса об интегралах по траекториям. В разделе 3.5 показано, что ядро лагранжиана вида $L=a(t)\dot{x}^2+b(t)\dot{x}x+c(t)x^2+d(t)\dot{x}+e(t)x+f(t)$ является $K(b,a)=e^{\frac{i}{\hbar}S_{cl}[b,a]}F(t_a,t_b)$ . В общем, как мне рассчитать коэффициент $F(t_a,t_b)$ . В задачах после раздела я вычислил классическое действие для частицы в магнитном поле и вынужденный гармонический осциллятор. Но я не знаю, как рассчитать префакторы. Например, это задача 3-11 от Фейнмана, и Хиббс просит вас вычислить ядро гармонического осциллятора, управляемого внешней силой. $f(t)$ . Лагранжиан $L=\frac{m}{2}\dot{x}^2-\frac{m\omega^2}{2}x^2+f(t)x$ . Ответ

К "=" \sqrt{\frac{м ю}{2 π я ℏ грех ю Т}} е^{\frac{я}{ℏ} С_{с л}}

$K=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin{\omega T}}}e^{\frac{i}{\hbar}S_{cl}}$

где $T=t_f-t_i$ и $S_{cl}$ является классическим действием. Как я могу увидеть, что приведенное выше является коэффициентом, умножающим показатель степени напрямую или с помощью вычисления.

Ответы (2)

Вычисление ядра с использованием интегралов по путям для квадратичных лагранжианов

Qмеханик · Answer 1

Префактор $F(t_f,t_i)$ дается в уравнении (3-50) Ref. 1 как

Ф (т_{ф}, т_{я}) "="

$F(t_f,t_i)~=~\qquad$

\begin{matrix} (3-50') & \int_{у (т_{я}) "=" 0}^{у (т_{ф}) "=" 0} Д у опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т [а (т) \dot{у} (т)^{2} + б (т) у (т) \dot{у} (т) + с (т) у (т)^{2}]} . \end{matrix}

$\tag{3-50'} \int_{y(t_i)=0}^{{y(t_f)=0}}\!\!\! {\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \!\! dt[a(t) \dot{y}(t)^2+ b(t) y(t)\dot{y}(t)+c(t) y(t)^2 ] \right\}.$

Сомневаюсь, что существует замкнутая формула интеграла по траекториям (3—50') для произвольных коэффициентов $a(t)$ , $b(t)$ , и $c(t)$ с явной зависимостью от времени.

Для не зависящих от времени коэффициентов $a$ , $b$ , и $c$ , оценка гауссовского интеграла по путям (3-50') показана во многих учебниках, например, в разделе 3-11 работы. 1 или Приложение A к Ref. 2.

Использованная литература:

Р. П. Фейнман и А. Р. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, 1965.
Дж. Полчински, Теория струн, том. 1, 1998.

Тримок · Answer 2

У меня нет книги Фейнмана и Хиббса, но я думаю, что, поскольку действие квадратично, вам придется использовать квадратный корень из определителя второй (по координатам) производной матрицы классического действия.

Вы подтвердите это, проверив, что, когда $t_b \rightarrow t_a$ , затем $K(b, a, t_b, t_a) \rightarrow \delta(b - a)$

Вычисление ядра с использованием интегралов по путям для квадратичных лагранжианов

Анонимный

Ответы (2)

Qмеханик

Тримок

Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

Парадокс в выводе континуального интеграла квантовых полей

Неопределенность в формулировке интеграла по путям

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Почему каждое состояние, развивающееся бесконечное время, становится основным состоянием в КТП?

Когда справедлива теория возмущений многих тел?

Интегралы пути для произвольных действий?

Реальна ли энергия нулевой точки?

Интегральное представление пути ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?