Интегральная форма закона Гаусса для магнетизма из теоремы Стокса?

Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени записываются в виде

$$\begin{split}\nabla_a F^{ab} &= - 4\pi J^b,\\ \nabla_{[a} F_{bc]} &= 0,\end{split}$$ с $F$двойная форма Фарадея, $J^a$текущий четырехвектор, $\nabla$ковариантная производная и $[]$обозначает антисимметризацию индексов. С точки зрения внешнего исчисления они становятся: $$\begin{split} d\star F &= 4\pi \star J\\ dF&=0,\end{split}$$ с $\star$двойственный по Ходжу, который посылает p-формы $4-p$-формы в размерности 4. Если мы проинтегрируем левую часть первого уравнения по пространственно-подобной гиперповерхности размерности 3, $\Sigma$, с нормальным времяподобным вектором $t^a$, то теорема Стокса дает $$\int_\Sigma d\star F = \int_S \star F,$$ с $S$граница $\Sigma$с нормальным $n_a$. С $\Sigma$подобна пространству и $(\star F)_{cd} = \frac{1}{2} F^{ab} \epsilon_{abcd}$, $S$также является пространственноподобным и является одним из компонентов $F$должно быть времениподобным, поэтому $\star F = F^{ab} t_a n_b dS$. В этом также легко убедиться, если взять ограничение двойственности на $S$в локальных координатах все 2-формы пространственноподобны. Но мы знаем, что $E_a = F_{ab} t^b$, следовательно $$\int_S \star F = -\int_S F^{ba} t_a n_b d S = -\int_S E_b n^b d S.$$ Теперь интегрируем правую часть, $$\int_\Sigma \star J = \int_\Sigma J^a \epsilon_{abcd}=\int_\Sigma J^a t_a d \Sigma = -q,$$ а объединив это и предыдущее, получим: $$\int_S E_a n^a d S = 4\pi q,$$ Закон Гаусса применим и в искривленном пространстве-времени. Обратите внимание, что $\epsilon_{abcd}$является тензором Леви-Чивиты (объема), а не символом. В локальных координатах его компоненты являются произведением символа с $\sqrt{|\det{g_{\mu\nu}}|}$.

В случае магнитного поля$B_a = - \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} F^{cd} t^b$, только пространственноподобные компоненты$F_{ab}$используются, а магнитная часть тензора Фарадея равна

$$F = F_{12} dx^1\wedge dx^2 + F_{23} dx^2\wedge dx^3 + F_{31} dx^3\wedge dx^1,$$ а компоненты поля $B^1 = - |\det g_{\mu\nu}|^{-1/2} F_{23}$и т. д., поэтому интегралы становятся $$0=\int_S F = -\int_S \sqrt{|\det g_{\mu\nu}|} (B^1 dx^2\wedge dx^3 + B^2 dx^3\wedge dx^1 + B^3 dx^1\wedge dx^2) = - \int_S B^a n_a dS.$$

Таким образом, в трехмерном евклидовом пространстве мы имеем изоморфизм между векторами и 1-формами обычным способом.

$$\eta_\mu = g_{\mu\nu} \eta^\mu.$$ У нас также есть изоморфизм между 1-формами и 2-формами, заданный формулой $\star : dz\mapsto dx\wedge dy$и циклично. У этого изоморфизма есть причудливое название — двойственный по Ходже, если вы хотите знать о нем вообще. Тогда, если $B^\mu$представляет собой магнитное поле, мы можем сделать из него 3-форму — что-то, что можно проинтегрировать по объему — путем (i) понижения индекса, чтобы получить 1-форму, (ii) взятия двойственной формы Ходжа, чтобы получить 1-форму. 2-форма (iii) с использованием $d$чтобы получить 3-форму. Более явно, $$B_\mu = B_x dx + B_y dy + B_z dz$$ $$(\star B)_{\mu\nu} = B_x dy\wedge dz + B_y dz\wedge dx + B_z dx\wedge dy$$ $$(d\star B)_{\mu\nu\rho} = \frac{\partial B_x}{\partial x} dx\wedge dy \wedge dz + \frac{\partial B_y}{\partial y} dy\wedge dz\wedge dx + \frac{\partial B_z}{\partial z} dz\wedge dx\wedge dy$$ Но это $$(d\star B)_{\mu\nu\rho} = \left(\frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) dx\wedge dy\wedge dz$$ так называют бедняги, не знающие дифференциальных форм. $\nabla \cdot \mathbf B$. Теперь вы можете просто применить замечательную теорему Стокса!

Это то, чему они должны научить вас многомерному исчислению, но не делайте этого!

Не определяя какой-либо конкретный сценарий и игнорируя любые константы пропорциональности, просто рассмотрим некоторую общую дифференциальную форму$\omega$, и пусть это представляет электрический поток через замкнутую поверхность, которая ограничивает некоторый объем V. В классическом электромагнетизме закон Гаусса говорит нам, что поток через замкнутую поверхность пропорционален количеству заряда, заключенного внутри этой поверхности; другими словами, визуализируйте поток как «трубки потока», которые заканчиваются внутри объема V. Если$\omega$представляет потоковые трубки, тогда$d\omega$представляет их конечные точки, и мы можем просто и интуитивно написать закон Гаусса как

$\displaystyle{\int_{\partial V}\omega =\int_{V}d\omega}$

Это как раз и есть обобщенная теорема Стокса - количество магнитных трубок, оканчивающихся внутри объема, равно количеству магнитных трубок, пересекающих поверхность.