Граничные условия установившегося тока

Первое уравнение

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{J}(\vec{r})=0 \tag 1$$ по теореме Гаусса эквивалентно $$\int_{\partial S} \vec J(\vec r)d\vec a=0 \tag 2$$ Это означает, что в объеме нет изменения заряда во времени. Вывод граничного условия нормальной плотности тока следует по тому же пути, что и граничные условия электрического поля для нормальной составляющей диэлектрического смещения. $\vec D$.

Непрерывность нормальной составляющей стационарной плотности тока получается с использованием уравнения. (2) с гауссовой поверхностью дота, охватывающей границу раздела сред и позволяющей высоте дота стремиться к нулю. В стационарном случае изменения возможного интерфейсного заряда во времени не происходит. Это дает

$$\vec{J}(\vec{r})_{1n}=\vec{J}(\vec{r})_{2n} \tag 3$$ Непрерывность тангенциальной составляющей электрического поля следует из $\nabla \times \vec E=0$и поэтому $\oint \vec{E}(\vec{r}) d\vec{r}=0$и замкнутый прямоугольный путь интегрирования на интерфейсе, который дает $$E(\vec{r})_{1t}=E(\vec{r})_{2t} \tag 4$$