Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Question

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Физика
распространитель
калибровочная теория
интеграл по путям
Черн-Саймонс-теория
квантовая теория поля

Грег Гравитон

В настоящее время я пытаюсь изучить главу в Altland & Simons, «Теория поля конденсированного состояния» (2-е издание), и я застрял в конце раздела 9.5.2, страница 579.

Учитывая евклидово действие Черна-Саймонса для абелева калибровочного поля $a_µ$ который связан с током $j_µ$

С [а_{µ}, {Дж}_{µ}] "=" \int г^{3} Икс ({Дж}_{µ} а_{µ} + \frac{я θ}{4} ε_{µ ν λ} а_{µ} \partial_{ν} а_{λ})

$S[a_µ,j_µ] = ∫d^3x (j_µ a_µ + \frac{iθ}4ε_{µνλ}a_µ ∂_ν a_λ)$

задача состоит в том, чтобы проинтегрировать калибровочное поле и получить эффективное действие для тока.

Поскольку это калибровочное поле, мы должны позаботиться о лишней калибровочной степени свободы. Примечание Altland & Simons в середине стр. 579, что один из способов сделать это — ввести член, фиксирующий калибровку. $α (∂_µ a_µ)^2$ и разреши $α\to ∞$ в конце.

Однако, похоже, это не работает. В импульсном пространстве действие Черна-Саймонса плюс условия фиксации калибровки пропорциональны

\int г^{3} д а_{µ} (- д) {(\begin{array}{ccc} α д_{0}^{2} & - я д_{2} & я д_{1} \\ я д_{2} & α д_{1}^{2} & - я д_{0} \\ - я д_{1} & я д_{0} & α д_{2}^{2} \end{array})}_{µ ν} а_{ν} (д) .

$∫ d^3q\ a_µ(-q) \left( \begin{array}{ccc} \alpha q_0^2 & -i q_2 & i q_1 \\ i q_2 & \alpha q_1^2 & -i q_0 \\ -i q_1 & i q_0 & \alpha q_2^2 \end{array} \right)_{µν} a_ν(q) .$

Чтобы получить эффективное действие для тока, мне просто нужно инвертировать эту матрицу, которую мы называем $A_{µν}$ , и отправить $α\to ∞$ . Но этого не может быть. Например, одна запись обратной матрицы читается

А_{01}^{- 1} "=" \frac{- д_{0} д_{1} - я д_{2}^{3} α}{д_{1}^{2} д_{2}^{2} д_{0}^{2} α^{3} - α (д_{0}^{4} + д_{1}^{4} + д_{2}^{4})}

$A^{-1}_{01} = \frac{-q_0 q_1-i q_2^3 \alpha }{q_1^2 q_2^2 q_0^2 \alpha ^3- α(q_0^4+q_1^4+q_2^4) }$

и это исчезает в пределе $α\to∞$ . То же самое для других записей. Это плохо.

Мой вопрос, следовательно

Как правильно выполнить функциональный интеграл по калибровочному полю $a_µ$ с вкладом фиксации калибра $α(∂_µ a_µ)^2$ где $α\to ∞$ ?

Я знаю, что есть и другие методы, например, интегрировать только по поперечным степеням свободы, как отмечают Альтланд и Саймонс. Я не против узнать и о них, но хотелось бы разобраться в том, что представлено здесь, в частности. Не говоря уже о том, что я, возможно, допустил простую ошибку в приведенном выше расчете.

Олаф

На всякий случай, если люди не заметят (я заметил только из-за ответа @Moshe): ошибка, сделанная выше, заключается в том, что

α (\partial_{μ} a_{ν})^{2} = α (\partial_{μ} a_{μ}) (\partial_{ν} a_{ν})

$\alpha(\partial_\mu a_\nu)^2 = \alpha(\partial_\mu a_\mu) (\partial_\nu a_\nu)$ , поэтому каждая матрица

A_{μ ν}

$A_{\mu \nu}$ запись должна содержать термин

α q_{μ} q_{ν}

$\alpha q_\mu q_\nu$ . Сейчас это появляется только в диагональных компонентах.

Грег Гравитон

Упс, действительно. Этот термин соответствует и должен соответствовать проекции

L_{µ ν} a_{ν} = \frac{q_{µ} q_{ν}}{q^{2}} a_{ν}

$L_{µν} a_ν = \frac{q_µq_ν}{q^2} a_ν$ на продольные степени свободы.

Ответы (1)

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

На всякий случай, если люди не заметят (я заметил только из-за ответа @Moshe): ошибка, сделанная выше, заключается в том, что $\alpha(\partial_\mu a_\nu)^2 = \alpha(\partial_\mu a_\mu) (\partial_\nu a_\nu)$ , поэтому каждая матрица $A_{\mu \nu}$ запись должна содержать термин $\alpha q_\mu q_\nu$ . Сейчас это появляется только в диагональных компонентах.
Упс, действительно. Этот термин соответствует и должен соответствовать проекции $L_{µν} a_ν = \frac{q_µq_ν}{q^2} a_ν$ на продольные степени свободы.

Давид Бар Моше · Answer 1

В данном случае я думаю, что удобнее выполнять вычисление пропагатора ковариантно (а не по компонентам).

Обратный пропагатор (в импульсном пространстве) можно прочитать из абелева действия Черна-Саймонса, включая член фиксации калибровки, как:

$G^{-1}_{\mu\nu}(k) = \alpha q_{\mu} q_{\nu} + i \frac{\theta}{4} \epsilon_{\mu\nu\rho}q^{\rho}$

Для пропагатора мы используем анзац:

$G_{\sigma\tau}(k) = \beta q_{\sigma} q_{\tau} + i \gamma \epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}$

Параметры $\beta$ и $\gamma$ необходимо вычислить из условия:

$G^{-1}_{\mu\nu}(k) \delta^{\nu\sigma} G_{\sigma\tau}(k)= \delta_{\mu\tau}$

Обратите внимание, что пропагатор не может содержать член, пропорциональный $\delta_{\nu\sigma}$ , потому что этот член привел бы к члену, пропорциональному $\epsilon_{\mu\sigma\tau}q^{\tau}$ после сжатия с обратным пропагатором, которое не может быть отменено никаким другим членом.

Мы получаем:

$(\alpha \beta q^2 -\frac{\theta}{4} \gamma) q_{\mu} q_{\tau} + \frac{\theta}{4} \gamma q^2 \delta^{\mu\tau} = \delta^{\mu\tau}$

(Где использовалось следующее тождество: $\delta^{\nu \sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho} \epsilon_{\sigma\tau\eta} = \delta_{\mu \eta}\delta_{\rho \tau}- \delta_{\mu \tau}\delta_{\rho \eta}$ )

Таким образом:

$\gamma = \frac{4}{\theta q^2}$

$\beta = \frac{\theta \gamma }{4 \alpha q^2} = \frac{1}{\alpha q^4}$

Таким образом $\beta$ исчезает в пределе $\alpha \to \infty$ и у нас осталось эффективное действие:

$\frac{1}{\theta}\int d^3q J^{\sigma}(-q) \frac{\epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}}{q^2} J^{\tau}(-q)$

Множитель 4 сокращается с аналогичным множителем, возникающим из-за завершения квадрата.

Спасибо! Теперь я также понимаю, почему метод $α\to ∞$ работает для любого калибровочно-инвариантного действия. Причина просто в том, что калибровочно-инвариантное действие проектируется на поперечные степени свободы, а выражение $\frac{q_νq_µ}{q^2}$ проекты по продольной степени свободы.
Я хотел бы спросить, что случилось с двумя (воображаемыми) перекрестными членами от оценки условия пропагатора $G^{−1}_{μν}(k)δ^{νσ}G_{στ}(k)=δ_{μτ}$ , так как кажется, что в вашем выражении остались только два действительных члена $(αβq^2−\frac{θ}{4}γ)q_μq_τ+\frac{θ}{4}γq^2δ^{μτ}=δ^{μτ}$ .
@dgwp Они тождественно равны нулю из-за симметрии $\epsilon_{\mu \nu \rho}q^{\mu}q^{\nu}q^{\rho} = 0$

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Грег Гравитон

Олаф

Грег Гравитон

Ответы (1)

Давид Бар Моше

Грег Гравитон

дгвп

Давид Бар Моше

Модели высшего типа Черна-Саймонса

Калибровочная инвариантность и диффеоморфизм-инвариантность в теории Черна-Саймонса

Определитель Фаддеева-Попова теории Черна-Саймонса

Амплитуда перехода от вакуума к вакууму с использованием функционального интеграла

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Инвариантность меры Фаддеева-Попова по Хаару для U(1)U(1)U(1)

Термин Черна-Саймонса: интегрирование фермионов с щелью в измерениях 2 + 1, связанных с внешним калибровочным полем.

Лагранжианы, объединяющие члены с 1 и 2 производными

Каково ограничение на калибровочный потенциал в ковариантных калибрах?

Как доказать, что фейнмановские пропагаторы поля спина 111 U(1)U(1)U(1) эквивалентны в кулоновской калибровке и калибровке RζRζR_\zeta?