Каково ограничение на калибровочный потенциал в ковариантных калибрах?

I) Плотность лагранжиана КЭД без фиксированной калибровки читается

$${\cal L}_0~:=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} -m)\psi.\tag{1}$$ Фиксированная калибровкой плотность лагранжиана КЭД в$R_{\xi}$-датчик читает

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 , \tag{2}$$

где член Фаддеева-Попова равен

$${\cal L}_{FP}~=~ -d_{\mu}\bar{c}~d^{\mu}c, \tag{3}$$

и

$$\chi~:=~d_{\mu}A^{\mu}~\approx~0 \tag{4}$$

– условие фиксирования калибровки Лоренца .

II) В интеграле по путям с$R_{\xi}$-калибровки, условие Лоренца фиксации калибровки (4) накладывается только в смысле квантового среднего. В общем случае условие фиксации калибровки Лоренца может нарушаться квантовыми флуктуациями, за исключением калибровки Ландау.$\xi=0^+$, где такие квантовые флуктуации экспоненциально подавлены (в евклидовом интеграле по путям с поворотом Вика).

III) Если ввести вспомогательное поле Лаутрупа-Наканиши$B$, плотность лагранжиана КЭД в$R_{\xi}$-датчик читает

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal \cal L}_{FP} +\frac{\xi}{2}B^2+B\chi \quad\stackrel{\text{int. out } B}{\longrightarrow}\quad {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 ,\tag{5}$$

ср. этот связанный пост Phys.SE. Уравнение Эйлера-Лагранжа для$B$-поле читает

$$-\xi B~\approx~\chi.\tag{6}$$

Поскольку нет входящих и исходящих внешних$B$-частицы, можно утверждать, что$B$-поле классически равно нулю, и поэтому условие Лоренца$\chi\approx 0$налагается классически, ср. экв. (6), независимо от значения калибровочного параметра$\xi$. Квантовая механика для$\xi>0$, уравнение (4) выполняется только в среднем, как объяснялось выше.