Как доказать, что фейнмановские пропагаторы поля спина 111 U(1)U(1)U(1) эквивалентны в кулоновской калибровке и калибровке RζRζR_\zeta?

Как доказать, что пропагаторы Фейнмана эквивалентны в кулоновской калибровке и$R_\zeta$измерять? (Более конкретно, они одинаковы, когда они сжимаются с внешним током)

В$R_\zeta$калибровки, пропагатор принимает вид

$$D_{F\mu\nu}=-\frac{1}{k^2+i\epsilon}\left[g_{\mu\nu}-(1-\zeta)\frac{k_{\mu}k_\nu}{k^2}\right]$$

Когда$\zeta=1$это датчик Фейнмана,$D_{F\mu\nu}=-\frac{g_{\mu\nu} }{k^2+i\epsilon}$. Это обычная форма, которую мы используем в правилах Фейнмана. Поскольку$A_{\mu}$всегда связан с сохраняющимся током, т.е.$\partial_\mu J^\mu(x)=0$так$k_\mu J^{\mu}(k)=0$. Таким образом, это доказывает, что пропагатор в$R_{\zeta}$калибровка эквивалентна калибровке Фейнмана.

В кулоновской калибровке пропагатор принимает вид:

$$\begin{aligned} D^C_{F\mu\nu}&=\frac{1}{k^2+i\epsilon}\left(\sum_{i=1,2}\epsilon_\mu(k,i)\epsilon_\nu(k,i)\right)\\ &= -\frac{g_{\mu\nu} }{k^2+i\epsilon} -\frac{n_{\mu}n_{\nu}}{(k\cdot n)^2-k^2}-\frac{1} {k^2+i\epsilon} \frac{k_\mu k_\nu-(k_\mu n_\nu+k_\nu n_\mu )(k.n)}{(k\cdot n)^2-k^2} \end{aligned}$$

Используя тот же аргумент, что и выше, 3-й член не имеет вклада. Но второй член — это мгновенное кулоновское взаимодействие. Если мы выберем$n^{\mu}=(1,0,0,0)$, второй член

$$\frac{\delta_{\mu,0}\delta_{\nu,0}}{|\mathbf{k}|^2}$$

В координатном пространстве этот член равен

$$\delta_{\mu,0}\delta_{\nu,0}\frac{\delta(x_0-y_0)}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$

Я не понимаю, почему он равен нулю, когда он соединяется с внешним током.