Интенсивность побочных максимумов на дифракционной решетке?

Картина интенсивности для нескольких щелей довольно сложна.

Это результат двух эффектов: «дифракции» света от каждой из щелей и интерференции света от каждой из щелей.

Таким образом, дифракционную решетку можно рассматривать как$N$прорези каждой ширины$b$и разделение по центру$a$.

Интенсивность$I(\theta)$шаблон для такой договоренности дается

где$I_o$интенсивность при$\theta =0$производится одной щелью,$\beta = \dfrac {\pi b}{\lambda}\sin\theta,\;\alpha= \dfrac {\pi a}{ \lambda}\sin\theta$и$\lambda$это длина волны света.

Первый член в скобках — это дифракционная огибающая, которая модулирует интерференционную картину, создаваемую несколькими щелями.
Буду считать, что ширина щели$b$достаточно мал, чтобы дифракционная картина была очень широкой и не сильно влияла на последующий анализ.

Второй член — это тот, который порождает главные максимумы и второстепенные максимумы.

Главные максимумы возникают, когда$\dfrac{\sin N\alpha}{\sin \alpha}=N$что происходит, когда$\alpha = 0,\,\pm\pi,\, \pm2\pi, \pm3\pi . . . .$
Это согласуется с уравнением нормальной решетки$n\lambda= a \sin \theta$
Интенсивность главных максимумов$N^2I_o$.

Вторичные минимумы возникают, когда$\dfrac{\sin N\alpha}{\sin \alpha}=0$и это когда$\alpha = \pm \frac {\pi}{N},\, \pm \frac {2\pi}{N}, \, \pm \frac {3\pi}{N} . . . .$и будет$N-1$из них.

Между этими второстепенными минимумами будут вторичные максимумы со значениями примерно$\alpha = \pm \frac {3\pi}{2N},\,\pm \frac {5\pi}{2N},\,\pm \frac {7\pi}{2N},\, . . . .$и будет$N-2$из них.

Следующий бит меня удивил.

Если$\sin N\alpha=1$,$N$большой и$\alpha$маленький тогда$\sin \alpha \approx \alpha$.
Интенсивность первого побочного максимума$N^2I_o \left (\frac{2}{3 \pi}\right)^2$который$5\%$основной максимальной интенсивности.

Это было неожиданностью, потому что я всегда полагал, что интенсивность этого вспомогательного максимума будет намного, намного меньше, чем интенсивность соседнего главного максимума.

Удивленный анализом, я начал строить график функции интенсивности для$N=10,\,100,\,1000,\, 10000$как показано ниже.

Так что похоже, что анализ был правильным.
Следующий дочерний максимум около$2\%$Таким образом, побочный максимум уменьшается по мере удаления от главного максимума.

Кроме того, графики очень хорошо показывают, что по мере увеличения числа щелей интенсивность главных максимумов увеличивается, посмотрите на$I/Io$масштабе, в то время как ширина главных максимумов уменьшается, посмотрите на$\alpha$шкала.

Дифракционная картина, которую вы видите, представляет собой квадрат преобразования Фурье функции апертуры. Теперь теорема о свертке говорит нам, что FT свертки A и B является произведением FT A и B. Другими словами, если у вас есть дифракционная решетка, состоящая из щелей конечной ширины, вы можете рассмотреть дифракционную картину быть шаблоном, полученным из идеальной решетки, умноженным на шаблон, полученный из одной щели конечной ширины (функция sinc, если вы отслеживали).

Поиск в Google «свертка дифракционной решетки» дает https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/diffraction/convolution.php в качестве первого попадания. Он содержит математические детали и диаграммы, которые углубляются.

ОБНОВЛЯТЬ

Я не прочитал ваш вопрос должным образом - вы спрашивали об эффекте наличия «идеальной» дифракционной решетки с конечной шириной (конечным числом щелей). Такую решетку можно представить как продукт функции «цилиндр» и бесконечной решетки, а дифракционная картина будет сверткой преобразований Фурье этих двух апертур (это теорема свертки «в другом направлении» ).

Преобразование Фурье бесконечного множества щелей — это бесконечное множество пиков; FT функции цилиндра (снова) является функцией sinc, но теперь, поскольку цилиндр шире, чем расстояние между щелями, большое количество пиков функции sinc будет соответствовать двум максимумам на дифракционной картине; однако их интенсивность будет одинаковой, независимо от N ( пока N достаточно велико, чтобы можно было пренебречь картиной, обусловленной соседним пиком ). Единственное, что изменится, это расстояние между пиками.

Однако, когда N не «очень велико», это определенно будет иметь эффект. Следующие графики показывают это:

Проблема здесь в том, что существует определенная степень конструктивного вмешательства между$n^{th}$пик одного максимума и$(N-n)^{th}$пик следующего... и даже некоторая интерференция от максимумов, которые находятся дальше. Показ этого только для N = 3 иллюстрирует этот момент:

Теперь, как вы можете видеть, вторичные пики немного асимметричны, что затрудняет поиск точной суммы для общего случая (случай N = 3 немного проще, потому что пики одного порядка перекрываются и устраняют асимметрию).

Если вы можете предположить, что пик всегда находится посередине между нулями, вы можете написать выражение для амплитуды — это будет сумма квадратов перекрывающихся пиков. Функция, описывающая базовый шаблон, имеет вид

Максимум будет, когда$nx = \frac32, \frac52, ...$поэтому значения будут

Теперь данный субмаксимум будет иметь вклады от всех остальных максимумов — вы видите, что вам придется строить ряд, суммирующий вклады. Для n-го подмаксимума, когда есть N щелей, первые четыре члена будут такими:

на самом деле нужно будет включить только пару терминов и только тогда, когда N достаточно мало. Я оставлю вам решать, сможете ли вы превратить это в замкнутую форму (аналитическую) сумму, но, учитывая (ложное) предположение о симметрии, я не думаю, что это стоит усилий.

Точно оценивая это (из свертки), значения максимума первого вторичного пика как функции N равны:

N=  3; max = 0.1019
N=  4; max = 0.0690
N=  5; max = 0.0593
N=  6; max = 0.0550
N=  7; max = 0.0527
N=  8; max = 0.0513
N= 10; max = 0.0497
N= 50; max = 0.0473
N=200; max = 0.0472

Значение, которое вы ожидаете из приведенного выше выражения, будет иметь сходимость первого пика к 0,04509 — не похоже, что это произойдет, поскольку асимметрия немного смещает максимум в одну сторону.

Код Python, который я использовал для создания этих диаграмм:

# finite grating calculations
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

d = 1.     # pick a spacing
ell = 0.01 # pick a wavelength
a0 = ell/d # angle where first max occurs .. small angle approximation
ns = 500   # number of angular steps between major peaks
a = np.arange(-3*ns,3*ns+1)*a0/ns # angle in radians

# the pattern for an infinite grating:
f1 = np.zeros(len(a))
f1[0:-1:ns]=1

fig1=plt.figure()

for jj,N in enumerate([2,3,4,10]):
    # the sinc function for this number of slits:
    f2 = np.sin(N*a*pi/a0)/(N*a*pi/a0)
    f2[np.where(np.isnan(f2))]=1 # get rid of the divide by zero in the middle

    # compute the convolution
    pattern = np.convolve(f1,f2*f2,'same')

    ax=fig1.add_subplot(2,2,jj+1)
    ax.plot(a/a0,pattern)
    ax.set_title('N=%d'%N)
    ax.xaxis.set_ticks(np.arange(-2,3,1))
    ax.set_xlim([-2,2])

fig1.show()

# show the interference more explicitly for a small number of slits
N=3
f2 = np.sin(N*a*pi/a0)/(N*a*pi/a0)
f2[np.where(np.isnan(f2))]=1

fig1=plt.figure()
ax=fig1.add_subplot(1,1,1)
for jj in range(4):
    f1 = np.zeros(len(a))
    f1[(jj+1)*ns]=1
    pattern = np.convolve(f1*f1,f2*f2,'same')

    ax.plot(a/a0,pattern)

ax.xaxis.set_ticks(np.arange(-2,3,1))
ax.set_xlim([-2,2])
fig1.show()