Интерпретация одномерного поперечного поля модели Изинга вакуумного состояния на спиновом языке

Подумав об этом, я должен сказать, что это не так просто, как я думал. JW-преобразование на поперечной модели Изинга содержит немало тонкостей.

Итак, чтобы продолжить,

1) Возьмите свое основное состояние для ЛЮБОГО $h$выражено на языке бесспиновых фермионов. Я подчеркиваю ЛЮБУЮ, потому что это условие выполняется всегда, а не только для$h<1$. Теперь это вакуум, определяемый формулой$| 0 \rangle$ул.$a_k |0\rangle = 0$. Это нетривиальное условие, записанное на спин-языке, т.е. мы берем операторы$a_k$и выполните следующие действия:

2) Применить обратное преобразование Боголюбова к$a_k$:$\{a_k\}\to \{b_k\}$.

3) Применить обратное преобразование Фурье:$\{b_k\} \to \{b_i\}$

4) Применяем обратное преобразование Джордана-Вигнера:$b_i = f(\sigma^x,\sigma^y,\sigma^z)$.

Все эти преобразования обратимы (см. этот pdf для преобразования JW и обратного преобразования JW ), поэтому вы можете это сделать. Итак, составив все карты, можно выразить$a_k = g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$, где$g$является весьма нетривиальной функцией.

Затем нужно найти ядро$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$, т.е.$|\psi\rangle$ул.$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) |\psi\rangle = 0$.$|\psi \rangle$основное состояние, записанное в спин-базисе.

Вы можете написать программу, которая сделает это за вас символически, но при всех ваших усилиях вы получите крайне нелокальное основное состояние в спиновом базисе из-за всех струн Джордана-Вигнера.

Примечание:

Есть много тонкостей, связанных с этой трансформацией. О чем очень часто не упоминают при выводе спектра$\epsilon(k,h)$заключается в том, что преобразование JW ДОЛЖНО выполняться отдельно для состояний с разной четностью в гильбертовом пространстве.

Это связано с тем, что наложение периодических граничных условий в спиновом пространстве подразумевает наложение периодических граничных условий для НЕЧЕТНОГО числа фермионов, но антипериодических граничных условий для ЧЕТНОГО числа фермионов. Это влияет на преобразование Фурье. В расчете любой макроскопической величины в термодинамическом пределе нет никакой разницы, и многие книги/ресурсы просто отбрасывают разговоры о двух случаях. Но это различие должно быть сделано, если кто-то хочет быть осторожным.

Один вопрос, который возник у меня, когда я размышлял над этой проблемой, был: хм, в одном пределе,$h\to\infty$, основные состояния единственны, а в другом пределе$h \to 0$основные состояния двукратно вырождены. Могу ли я легко увидеть это на фермионном языке?

Есть два решения проблемы, которые я могу придумать.

1) Возможно, основное состояние$|0\rangle_k$для каждого$k$не уникален. То есть вместо неприводимого двумерного представления фермионного КА, которое мы обычно принимаем$a_k$действует в,$a_k$могут быть операторами в$2 \times d$(приводимое) размерное представление, с$d$«основные состояния».

2) Четные и нечетные сектора полного гильбертова пространства порождают два условия на основное состояние:$a_k$в четном секторе дает условие$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) |\psi \rangle = 0$пока$a_k$в нечетном секторе дает другое условие$g'(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)|\psi'\rangle$= 0.

Может быть, дело в том, что когда$h\to \infty$,$|\psi\rangle = |\psi'\rangle$, в то время когда$h \to 0$,$|\psi\rangle \neq |\psi'\rangle$.

Мне кажется более вероятным, что 2) является правильным анализом, хотя это утверждение будет трудно доказать.

Я думаю, суть в том, что все считают, что обращение операции Жордана-Вигнера должно быть способно давать простые собственные состояния, которые очень легко получаются в любой$h \rightarrow 0$или$h \rightarrow \infty$, но после очень тщательного изучения литературы оказалось, что никто не вычислял это явно.

Априори нет причин, по которым может быть какое-либо несоответствие, и метод, изложенный в ответе nervxxx, безусловно, должен работать, но на самом деле это никогда не делалось раньше.