Интуиция для перестановочной симметрии тензора Римана

Question

Интуиция для перестановочной симметрии тензора Римана

Рави Чаран

Существует ли интуитивная/геометрическая картина перестановочной симметрии тензора Римана? Я видел множество алгебраических выводов, но хотел бы понять, выражает ли симметрия что-то интуитивное или очевидное (по крайней мере, задним числом).

Вот что у меня получилось (пожалуйста, дайте мне знать, если я ошибаюсь!)

Я не знаю, является ли это обозначение стандартным (я не могу уследить за разнообразием соглашений), поэтому прошу прощения, если оно не так. Работайте с метрическим соединением без кручения, а именно с соединением Levi-Civita.

Задайте тензор кривизны Реймана как бесконечно малую матрицу вращения, полученную в результате параллельного переноса вектора $Z$ вокруг петли в форме параллелограмма, определяемой $X$ и $Y$ .

р (Икс, Д) Z "=" р_{мю ν λ}^{о} {Икс}^{мю} Д^{ν} Z^{λ}

$R(X,Y)Z = R_{\mu\nu\lambda}^\sigma X^\mu Y^\nu Z^\lambda$ (1) Антисимметрия по первым двум индексам. Изменение направления петли дает противоположный эффект. Поэтому

(R_{μ ν})_{λ}^{σ} = - (R_{ν μ})_{λ}^{σ}

$(R_{\mu\nu})^\sigma_\lambda = -(R_{\nu\mu})^\sigma_\lambda$ . (Эти скобки делают матрицу явной). Другими словами

R (X, Y) = - R (Y, X)

$R(X,Y) = - R(Y,X)$ .

р_{мю ν λ}^{о} "=" - р_{ν мю λ}^{о}

$R_{\mu\nu\lambda}^\sigma = -R_{\nu\mu\lambda}^\sigma$

(2) Антисимметрия по вторым двум индексам. Матрица бесконечно малого вращения (подобная преобразованию Лоренца) антисимметрична, когда ее индексы понижены. Ставим верхний указатель на последнюю позицию,

г_{о т} р_{мю ν λ}^{т} "=" р_{мю ν λ о} "=" - р_{ν мю о λ}

$g_{\sigma\tau} R^\tau_{\mu\nu\lambda} = R_{\mu\nu\lambda\sigma} = -R_{\nu\mu\sigma\lambda}$

(3) Первая личность Бьянки (через этот вопрос на Math Stack Exchange). Тот факт, что связь без кручения, заставляет боковые грани куба замыкаться. Тождество Бьянки выражает, что они образуют треугольник.

р_{[мю ν λ]}^{о} "=" 0

$R_{[\mu\nu\lambda]}^\sigma = 0$

(4) Перестановочная симметрия. Из этих трех свойств мы можем вывести взаимозаменяемую симметрию. Например, в этих заметках . Вы также можете получить это, как я видел, расширив связь Леви-Чивиты с точки зрения метрики.

Я ищу что-то кроме простого жонглирования индексами! Например, какая-то картинка, похожая на ту, что в верхнем ответе на этот пост Math Stack Exchange.

(5) Бонус: Думаю, после этого я доберусь до личности Второго Бьянки. Есть ли хорошая интуиция для этого? Википедия дает это следующим образом, хотя я готов поспорить, что индексы находятся в другом порядке, чем я их поставил.

р_{а б [с г; е]}^{} "=" р_{а б с г; е}^{} + р_{а б г е; с}^{} + р_{а б е с; г}^{} "=" 0

$R_{ab[cd;e]}^{}= R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0$

Ответы (2)

Интуиция для перестановочной симметрии тензора Римана

ДжамалС · Answer 1

Я могу объяснить другую точку зрения на тензор Римана. Полезно писать не как $R^\sigma_{\mu\nu\lambda}$ а скорее как $R^i_{j\mu\nu}$ для начала различить два типа индексов, несмотря на то, что они работают в одном и том же диапазоне.

Это потому, что если мы рассмотрим пучок фреймов, который на самом деле является $GL(d,\mathbb R)$ основной пучок, соединение одной формы (оттянутое сечением) принадлежит $\Omega^1(M) \otimes T_eG$ , т.е. это алгебраическизначная форма Ли.

Алгебра Ли является матричной, поэтому, когда мы берем кривизну, которая представляет собой алгебру Ли с двумя значениями, у нас есть два индекса $ij$ для этого и еще два $\mu\nu$ индексы, так как это две формы на базовом пространстве.

Таким образом, очевидно, что он должен быть антисимметричным в $\mu\nu$ индексы, по тому, что мы знаем о формах. Но почему еще и антисимметричный в $ij$ ? Напомним, что при наличии метрики мы можем ограничиться ортогональными реперами, и тогда $ij$ антисимметричны именно из-за антисимметричных матриц, представляющих алгебру Ли ортогональной группы.

пользователь76568 · Answer 2

Естественно, тождества не будут иметь большого значения, если только вы не относитесь к типу Римана или не начнете понимать, где это имеет смысл; поместить в контексты, скажем, пространства-времени в ОТО, и далее ограничиться действием только на векторы, имеющие физический смысл. Например, начните с разложения Бела. Затем проследите это до простого жонглирования индексами.

Другим очевидным первым шагом является уравнение $R_{uv}=0$ держится на пустом месте.

Другим является то, что тензор Эйнштейна равен тензору энергии напряжения, что является единственным способом выразить принцип общей ковариации в уравнении.

Для контекста: как насчет регулярной римановой геометрии в 2, 3 или 4 измерениях (без измерения времени). Визуализации, которые я связал, чтобы удерживать в этом контексте.
Помимо основ свойств метрики связи, мне лично было трудно мысленно визуализировать различные тензорные / скалярные величины кривизны в 4-мерном случае (которые, случается, все процедурно заданы из Римана). Гравитационный путь и фактические кривые типов кривизны - это " $2/3$ » физики и, следовательно, наиболее важным. Не пространственными умственными способностями, а физическими явлениями. Обычно вам нужны инструменты, предоставляемые в ссылках, когда вы точно определяете симметрии / изометрии, и цель состоит в том, чтобы найти метрику в первую очередь.

Интуиция для перестановочной симметрии тензора Римана

Рави Чаран

Ответы (2)

ДжамалС

пользователь76568

Рави Чаран

пользователь76568

С чего начать изучение неевклидовой геометрии?

Все ли максимально симметричные пространства-времени имеют постоянную кривизну?

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Симметрии пространства-времени и объектов над ним

Каноническая форма структурных констант и взаимно ортогональная триада на орбитах космологий Бьянки

Доказательство постоянной кривизны

Контрпример к определению сферической симметрии в общей теории относительности

Что такое тензор энергии напряжения?

Приложения общей теории относительности, отличные от гравитации

Существует ли простая классификация максимально симметричных пространств?