Существует ли простая классификация максимально симметричных пространств?

Верно, что есть только три (класса) максимально симметричных геометрий , классифицируемых по их кривизне. Но есть и другие пространства-времени. Если выбрать одно из трех максимально симметричных пространств$(\mathbb R^n, \eta)$(пространство Минковского),$(\mathbb R \times S^{n-1}, d)$(пространство де Ситтера) и$(\mathbb R^n, a)$(пространство анти-де Ситтера), то рассмотрим любую подгруппу$\Gamma$группы симметрии, которая действует на эти пространства-времени плавно, свободно и правильно, то пространство-время$M / \Gamma$также является максимально симметричным пространством-временем.

Таких пространств-времен много. Для пространства Минковского существует их целый список: времениподобный цилиндр и пространственноподобный цилиндр, оба с топологией.$\mathbb R^n / \mathbb Z$, тор пространство-время$\mathbb R^n / \mathbb Z^n$, пространство-время бутылки Клейна, пространство Мизнера, пространство-время ленты Мебиуса, неориентируемый во времени цилиндр$(\mathbb R^n / \mathbb Z) / (I \times T)$и так далее.

Также существует множество вариаций пространства анти-де Ситтера (на самом деле то, что классически называют AdS, — это не то, что я вам сказал, а один из этих частных). Классическая AdS имеет топологию$\mathbb R^{n-1} \times S^1$. Существуют варианты AdS, которые не могут быть причинно-следственными, ориентируемыми, ориентируемыми во времени и т. д.

То же самое с пространством де Ситтера, которое включает среди своих знаменитых топологий многогранные вселенные, использующие одну из групп дискретного вращения.

Редактировать: как указывает AVS, эти пространства не максимально симметричны, а только локально максимально симметричны (они не могут быть инвариантными относительно вращения на всем многообразии). Полную классификацию пространств-времен постоянной кривизны можно найти у Вольфа (глава 11), и она выглядит следующим образом:

Все однородные изотропные связные псевдоримановы многообразия (сигнатуры$(1, n-1)$) классифицируются следующим образом:

• Если коллектор плоский, то$M$изометричен$\mathbb{R}^{1, n-1}$(теорема 11.6.8).
• Если многообразие имеет постоянную кривизну$K > 0$, то это покрытие$S^{1, n-1} / \{ \pm I\} = \mathbb{R}^1 \times S^{n-1} / \{ \pm I\}$(теорема 11.6.7)
• Если многообразие имеет постоянную кривизну$K < 0$, то это покрытие$\mathbb{H}^{1, n-1} / \{ \pm I\} = S^1 \times \mathbb{R}^{n-1} / \{ \pm I\}$(теорема 11.6.7)

Они соответствуют пространству Минковского, факторам пространства-времени де Ситтера (включая такие пространства, как само пространство-время де Ситтера, а также эллиптические пространства де Ситтера) и факторам (и покрытиям) пространства анти-де Ситтера.

Если вы хотите включить римановы многообразия, то классификация следующая. По теореме 8.12.2 все двухточечные однородные римановы многообразия (эквивалентные однородным и изотропным) изометричны одному из них:

• Евклидово пространство$\mathbb{R}^n = \mathrm{E}^n / \mathrm{O}(n)$
• The $n$-сфера$S^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{SO}(n)$
• Реальное проективное пространство$\mathbb{R}\mathrm{P}^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{O}(n)$
• Комплексное проективное пространство$\mathbb{C}\mathrm{P}^n = \mathrm{SU}(n + 1) / \mathrm{U}(n)$
• Кватернионное проективное пространство$\mathbb{H}\mathrm{P}^n = \mathrm{Sp}(n + 1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• Проективная плоскость Кэли$\mathrm{CayP}^2 = \mathrm{F}_4 / \mathrm{Spin}(9)$
• Реальное гиперболическое пространство$\mathbb{H}^n(\mathbb{R}) = \mathrm{SO}(1, n-1) / \mathrm{SO}(n)$
• Комплексное гиперболическое пространство$\mathbb{H}^n(\mathbb{C}) = \mathrm{SU}(1, n-1) / \mathrm{U}(n)$
• Кватернионное гиперболическое пространство$\mathbb{H}^n(\mathbb{H}) = \mathrm{Sp}(1, n-1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• Гиперболическая плоскость Кэли$\mathbb{H}^n(\mathrm{Cay}) = \mathrm{F}^*_4 / \mathrm{Spin}(9)$

(немного коллизии обозначений:$\mathbb{H}^n$это$n$-мерное гиперболическое пространство, в то время как$\mathbb{H}$поле кватернионов)

Случаи, представляющие интерес в физике (т.$3$-многообразия, используемые в метрике FRW) — это евклидово пространство,$3$-сфера, гиперболическое пространство и реальное проективное пространство (реальное проективное пространство имеет ту же кривизну, что и$3$-сфера, но другая топология). Это связано с тем, что все многообразия, построенные из комплексных групп, являются четномерными (например,$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$существование$(2n + 2)$-размерный).