Интуиция сохранения углового момента группы частиц

Сохранение углового момента тесно связано с отсутствием привилегированного пространственного направления. Как следствие, раз направление определено изолированной системой, у него нет причин изменяться в процессе эволюции системы, потому что нет выделенного абсолютного направления, так сказать, «отзывающего» его. Система имеет вращательную инерцию .

Я вернусь к этому в конце обсуждения. Но давайте начнем с вашей интуиции для линейного импульса:

Отдельная частица продолжает дрейфовать в одном направлении, пока ее не заставят изменить.

Это потому, что в космосе нет привилегированного положения. Итак, опять же, изолированная система, которая определяет позицию (находясь там ), не имеет причин ее менять. При наблюдении из другой инерциальной системы отсчета его центр масс движется равномерно по прямой линии: так выглядит «не двигаться» в самом общем смысле. В противном случае нам понадобилась бы референция для абсолютного покоя, а именно этого у нас нет, потому что не существует абсолютного положения.

Таким образом, система, не имеющая причин менять способ, которым она «не движется», обладает инерцией : требуется сила, чтобы изменить класс определяемых ею инерциальных систем отсчета на другой. Необходимая сила является произведением конечной относительной скорости системы отсчета по отношению к начальной на массу системы. Масса измеряет инерцию.

И изолированная группа частиц тоже продолжает дрейфовать как единое целое в среднем направлении, если ее не заставить измениться. Закон для изолированной группы частиц имеет точно такой же вид, как и для одиночной частицы.

Да, но о каком законе вы говорите? Потому что сохранение количества движения — это не сохранение скорости: это сохранение общего движения с инерцией системы (иначе для остановки мухи потребовалась бы та же сила, что и для остановки автомобиля с той же скоростью).

И вот почему все кажется вам другим, когда речь идет об угловом моменте:

Частица не может двигаться по кругу сама по себе, тогда как группа частиц продолжает вращаться как единое целое.

Группа частиц не продолжает вращаться . См. случай, описанный в этом вопросе : у нас есть две частицы (астронавты там), связанные натянутой веревкой и вращающиеся вокруг своего центра масс. Когда они отпускают веревку, каждый из них следует по прямой траектории: при наблюдении из инерциальной (невращающейся) системы отсчета, покоящейся относительно их центра масс, их угловая скорость (относительно их центра масс) постепенно исчезает. Угловой момент сохраняется , потому что они удаляются от своего центра масс , а не потому, что продолжают двигаться по кругу.

Закон для отдельной частицы приводит к закону, который имеет другую форму для группы.

Отдельная частица представляет собой твердый объект: все ее распределение массы поддерживается силами сцепления. Если вы абстрактно разделите его на разные части, каждая из этих частей будет следовать прямой линии и удаляться от центра вращения, если она не будет связана с другими частями. Точно так же, как космонавты: они продолжают вращаться, пока связаны веревкой.

Все это было хорошо объяснено в ответе @stafusa.

Таким образом, закон сохранения углового момента (который действительно одинаков для отдельной частицы и группы) — это не тот закон, о котором вы думаете: это не закон сохранения движения по кругу. Речь не идет о сохранении угловой скорости.

Что тогда? Это закон сохранения общего направления с инерцией вращения . Очень похоже на то, что равномерное линейное движение является наиболее общим способом «не двигаться», вращение таким образом, что общий угловой момент не изменяется, является наиболее общим способом «не вращения».

Что не аналогично сохранению линейного количества движения, так это (ложная) идея о том, что мы можем охарактеризовать то, что сохраняется, с помощью класса систем отсчета, потому что вращающиеся системы отсчета не являются инерциальными. Таким образом, если бы мы продолжали вращаться вдоль системы многих тел (так же, как мы ранее следовали за группой частиц, движущихся по инерции), нам было бы не так легко наблюдать, что система продолжает «не вращаться» (в отличие от предыдущего центр масс системы «не двигается»). Мы должны были бы принять во внимание силы инерции (такие как сила Кориолиса), которые, казалось бы, соответствуют изменению угловой скорости, хотя на самом деле они помогают сохранить как ось вращения, так и инерцию вращения.

То, что вы называете интуицией о сохранении импульса, на самом деле не более чем привыкание к ней . Древние греки и большинство маленьких детей не обязательно согласятся с вами в том, что нет необходимости иметь силу, действующую на тело, чтобы поддерживать его постоянную скорость.

Тем не менее, есть некоторые наблюдения, которые могут помочь «привыкнуть» к закону сохранения углового момента:

1) Во-первых, в общей ситуации развитие интуиции на основе шагов доказательства на самом деле является лучшим подходом, но для достижения этой естественности, которую вы ищете, вероятно, лучше всего рассмотреть однородное симметричное твердое тело, скажем, сферу, вращающийся вокруг своей оси («крутящийся»), парящий в пространстве, и спросите себя: почему этот шар должен перестать вращаться или начать вращаться быстрее, без какой-либо силы, действующей на него?

2) Также полезно заметить, что это распространенное недоразумение$^1$чтобы связать угловой момент с круговым (или, самое большее, эллиптическим) движением. Если рассмотреть определение

и применить его к свободной частице , которая движется прямолинейно со скоростью, например,$\mathbf{v}=v\,\hat{\imath}$, отдаленный от$z$ось по$r_\perp$(см. рисунок ниже) и имеет массу$m$, вы можете рассчитать его угловой момент относительно$z$ось:$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = m\mathbf{r}\times\mathbf{v} = -mv r_\perp\hat{k}$.

С$\mathbf{v}$и$m$постоянны, и поэтому$r_\perp$,$\mathbf{L}$также постоянно$-$сохраняется в отсутствие сил$^2$. Так что это ситуация, когда сохранение углового момента сводится к сохранению линейного количества движения.

Этой тривиальной эквивалентности, конечно, нет вообще. Если эта масса первоначально вращалась по часовой стрелке вокруг начала координат в$x$-$y$самолет с постоянной скоростью$v$, связанный с началом координат строкой длины$r_\perp$, то его угловой момент также будет$\mathbf{L} = -mv r_\perp\hat{k}$; и, если эта строка была обрезана, когда$\mathbf{r}=(0,r_\perp,0)$, масса начнет двигаться по прямой, как показано на рисунке. Устранение центростремительной силы меняет периодически меняющуюся$\mathbf{p}$значение на постоянное, но не влияет на$\mathbf{L}$, так как на него не действует крутящий момент.

$^1$ _{Усилено традицией учебников вводить угловой момент и Co. в контексте равномерного кругового движения, прежде чем вводить более общие векторные величины.}

$^2$ _{Пример можно продолжить, и мы можем рассмотреть силу$\mathbf{F}=F\,\hat{\imath}$воздействует на массу. Это увеличивает$v$, имеет ненулевой крутящий момент$-r_\perp F\hat{k}$а также изменения$\mathbf{L}$, но правильного вращения не происходит.}

Возьмем систему Земля и Луна. Они взаимодействуют под действием силы тяжести, вращаясь вокруг точки своего центра масс. Как только луна была поймана, закон сохранения углового момента удерживает ее на орбите.

Поскольку у вас есть интуитивное представление о линейном импульсе, подумайте о нем как о линейном импульсе: Луна движется с импульсом p в момент времени t (где p — вектор), а Земля — с импульсом -p, вся система покоится в своем центре. масса. Сила гравитации добавляет в момент времени t+dt вектор dp_2 к вектору импульса Луны и -dp_2 к вектору импульса Земли. Линейный импульс по-прежнему сохраняется (сумма нуля Земли и Луны), но векторы изменили направление. Определение углового момента как rxp (векторы) даст полезный вектор, который также будет сохраняться (сумма до нуля для двоичной системы).

Надеюсь это поможет.

Вы успешно развили интуицию сохранения линейного импульса. Поскольку случай одной частицы является очень специализированным и идеальным случаем (каждая частица может быть увеличена и разделена на несколько частей), давайте рассмотрим только группы частиц:

Изолированная группа частиц также продолжает дрейфовать как единое целое в среднем направлении, если ее не заставить измениться.

Это закон сохранения импульса.

Теперь забудьте о чистом (среднем) направлении целого и начните смотреть на части. (т.е. перейти к центру масс рамы). И предположим, что у вас в руках тонкие нити, прикрепленные к каждой из частей так, чтобы они не мелькали. (Это внутренние силы). Неважно, как быстро вы тянете за части или даже не тянете за части вообще.

Теперь в общем случае ваши потоки не могут изменить вращения частей вокруг вас. Вы можете притянуть их ближе, сжав их орбиты, но тогда они станут быстрее, как вы могли бы заметить, если бы вы когда-нибудь вращались во время катания на коньках или пытались сделать сальто.

Итак, в сети что-то сохраняется. И вы можете думать об этом «что-то» как о площади, заметаемой частями в единицу времени (работает только в том случае, если все движения происходят на плоскости — в общем случае вы можете взять проекцию движений на любую плоскость и площадь -скорость сохранится, так как для сохраняющегося вектора сохраняются все его проекции).

Пока нет внешнего крутящего момента, то есть никаких внешних попыток каким-то образом закрутить вашу группу частиц, части вашей системы могут сталкиваться и делать что угодно, и вы можете тянуть их за нити, как угодно, это «что-то» будет остаются законсервированными.

Надеюсь это поможет.

Почему частица не продолжает двигаться по окружности сама по себе? Ответ — отсутствие центростремительной силы, притягивающей его к центру окружности.

С группой частиц думайте о частице на одном конце как о точке вращения. Остальные частицы сохраняют свой угловой момент/вращение вокруг этой частицы из-за некоторой центростремительной силы. Эта центростремительная сила является связью, удерживающей частицы вместе.

Другой пример: возьмите балку, один конец которой прибит к земле (это точка вращения). Если вы нажмете на другой конец балки, балка приобретет угловой момент, двигаясь по кругу. При отсутствии сил сопротивления угловой момент луча будет сохраняться. Причина в том, что существует центростремительная сила, которая представляет собой просто силу связи между частицами/атомами луча.