Исчезает ли электрический квадруполь, если |ψ|2|ψ|2|\psi|^2 сферически симметричен?

Вообще говоря, все мультиполи сферически - симметричного распределения будут равны нулю; это связано с тем, что сферическое распределение полностью монополярно (т. е. его можно рассматривать как$\ell=0$функция), а мультиполярные функции ортогональны над сферой.

Для вашего конкретного случая исчезающий интеграл легко проверить простыми средствами: если$\psi(\mathbf r)$сферически симметричен, то он должен быть инвариантным относительно более простой симметрии

$$\psi(x,y,z) = \psi(y,z,x) = \psi(z,x,y)$$ который переставляет три оси координат, т.е. поворот на 120° вокруг оси $\arccos(1/\sqrt{3}) = 54.7$° от вашего начального $z$ось; этой единственной дискретной симметрии достаточно, чтобы показать, что квадруполи исчезают. Чтобы убедиться в этом, просто заметьте, что замена $z$координата в функции взвешивания для $x$или $y$координата не может изменить значение интеграла (поскольку плотность не меняется при вращении), поэтому поэтому $$\begin{align} Q & = \int(3z^2-r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\& = \int(3y^2-r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\& = \int(3x^2-r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r. \end{align}$$ Отсюда хитрость состоит в том, чтобы сложить все три версии этого равенства вместе, получив по одному каждому из $x^2$, $y^2$и $z^2$условия и три из $r^2$условия, $$\begin{align} 3Q & = \int(3(x^2+y^2+z^2)-3r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\ & = \int(3r^2-3r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\ & = 0 \end{align}$$ которые сокращаются именно потому, что анизотропные члены складываются в простой радиальный член, коэффициент которого компенсирует совокупный вклад исходных изотропных членов. (И да, вот где это $3$исходит, конечно.)