⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Question

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

скдыс

Я должен решить эту простую проблему:

Позволять $\hat{A}$ и $\hat{B}$ два эрмитовых оператора такие, что:
$⟨ ψ | \hat{А} | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ | \hat{Б} | ψ ⟩ \forall | ψ ⟩$ $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle \qquad \forall |\psi\rangle$

Докажи это
$\hat{А} "=" \hat{Б} .$ $\hat{A} = \hat{B}.$ Подсказка: расширить $|\psi\rangle$ в каком-либо подходящем базисе.

Я наивно пытался:

⟨ ψ | \hat{А} - \hat{Б} | ψ ⟩ "=" 0 \forall | ψ ⟩

$\langle\psi|\hat{A}-\hat{B}|\psi\rangle = 0 \qquad \forall |\psi\rangle$

Поэтому $\hat{A}-\hat{B}=0$ точно.

Но это, похоже, всегда работает с неэрмитовыми операторами. Я ошибаюсь?

Биофизик

Я думаю, что смысл в том, чтобы показать, почему

⟨ ψ | \hat{A} - \hat{B} | ψ ⟩ = 0

$\langle \psi | \hat A -\hat B |\psi \rangle=0$ Значит это

\hat{A} - \hat{B} = 0

$\hat A-\hat B=0$

Ответы (1)

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Я думаю, что смысл в том, чтобы показать, почему $\langle \psi | \hat A -\hat B |\psi \rangle=0$ Значит это $\hat A-\hat B=0$

Qмеханик · Answer 1

Да, ОП прав: это справедливо для не обязательно самосопряженных операторов. $^1$ .

Набросанное доказательство:

Вычитая $\hat{B}$ от обоих операторов (и переименования), мы можем предположить, что wlog $\hat{B}=\hat{0}$ .
Переписать $\hat{A}=\hat{A}_1+i\hat{A}_2$ , где $\hat{A}_1=\frac{\hat{A}+\hat{A}^{\dagger}}{2}$ и $\hat{A}_2=\frac{\hat{A}-\hat{A}^{\dagger}}{2i}$ являются самосопряженными операторами.
Используйте трюк с поляризацией , чтобы показать, что
$\begin{aligned} \forall | ф ⟩, | ψ ⟩ е ЧАС : 0 "=" & ⟨ ф + ψ | \hat{А} | ф + ψ ⟩ \\ - ⟨ ф | \hat{А} | ф ⟩ - ⟨ ψ | \hat{А} | ψ ⟩ \\ "=" & ⟨ ф | \hat{А} | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \hat{А} | ф ⟩ \\ "=" & 2 р е ⟨ ф | {\hat{А}}_{1} | ψ ⟩ \\ + 2 я р е ⟨ ф | {\hat{А}}_{2} | ψ ⟩ . \end{aligned}$ $\begin{align} \forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ 0~=~&\langle \phi+\psi | \hat{A} |\phi+ \psi\rangle\cr &-\langle \phi | \hat{A} | \phi\rangle -\langle \psi | \hat{A} | \psi\rangle \cr ~=~&\langle \phi | \hat{A} | \psi\rangle +\langle \psi | \hat{A} | \phi\rangle\cr ~=~&2{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle\cr &+2i{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.\end{align}$
Сделайте вывод, что
$\forall | ф ⟩, | ψ ⟩ е ЧАС : р е ⟨ ф | {\hat{А}}_{1} | ψ ⟩ "=" 0 "=" р е ⟨ ф | {\hat{А}}_{2} | ψ ⟩ .$ $\forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ {\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle ~=~0~=~{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.$
Сделайте вывод, что
$\forall | ф ⟩, | ψ ⟩ е ЧАС : ⟨ ф | {\hat{А}}_{1} | ψ ⟩ "=" 0 "=" ⟨ ф | {\hat{А}}_{2} | ψ ⟩ .$ $\forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ \langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle ~=~0~=~\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.$
Сделать вывод, что $\hat{A}=\hat{0}$ . $\Box$

$^{1}$ В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

Почему вы используете два вектора $|\phi\rangle$ и $| \psi\rangle$ ? Исходный вопрос предполагает одинаковый вектор с обеих сторон $\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = 0$
@skdys $| \phi \rangle$ и $| \psi \rangle$ оба представляют любой элемент в пространстве, поэтому $| \phi \rangle=| \psi \rangle$ является более частным случаем этого доказательства.
Сохраняется ли равенство в случаях, которые игнорируются?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

скдыс

Биофизик

Ответы (1)

Qмеханик

скдыс

Биофизик

Наш

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Коммутатор положения и импульса

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Сопряжение сопряженного оператора

Позиционирование оператора в импульсном пространстве

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?

Проблема углового момента в квантовой механике

Как использовать лестничные операторы?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} ​​= \hat{ Б}?

скдыс

Биофизик

Ответы (1)

Qмеханик

скдыс

Биофизик

Наш

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?