Искривляется ли темная энергия вокруг черной дыры локально?

Краткий ответ: да. Но что теперь означают первоначальные «прямые линии»? они не могут быть хорошо определены в новой метрике, потому что теперь естественными геометрическими объектами являются геодезические, а четырехугольника с четырьмя прямыми углами не существует (кроме возможного специального выбора углов). Вы должны правильно определить громкость (см. ниже)

Длинный ответ: Чтобы ответить на ваш вопрос в точных терминах, мы должны иметь метрику Вселенной с положительной космологической постоянной и черной дырой, которую на самом деле нетрудно решить!

Решение представляет собой нелинейную смесь метрик де Ситтера и Шварцшильда:

$ds^2 = - \left( 1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 \right) dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 \right)} + r^2 d\Omega$

(примечание: если вы хотите, чтобы размер вашей черной дыры был значительно меньше вашей вселенной, вы можете расширить пространственную часть метрики$d\,\vec{r}^2 = d\,\vec{r}^2_{schwarzschild} - \frac{\Lambda}{3}\frac{r^2 dr^2}{\left(1 - \frac{r_s}{r} \right)^2}$)

Так что теперь, чтобы найти количество темной энергии в каком-либо пространственном объеме, необходимо указать границу этого элемента объема в конкретной системе отсчета, потому что пространственный объем «не является релятивистским инвариантом». Естественная система отсчета для нас — это наблюдатель, движущийся вместе с черной дырой и асимптотически удаляющийся от нее. Для такого наблюдателя вы теперь определяете границу объема$\mathcal{V}$, а последнее вычислить как

$\mathcal{V} = \int_\mathcal{V}\frac{r^2 drd\Omega}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 }}$

Наконец, количество темной энергии в определенном объеме определяется соответствующим образом:$E = \Lambda\mathcal{V}$

Важное примечание: эта система координат является естественной для определения объема, определяемого определенными расстояниями, например, от сингулярности черной дыры (граница которой определяется как поверхность).$r(\theta,\phi)$), поэтому ответ не зависит от времени. Однако, если вы хотите определить объем по положению сопутствующей звезды в de sitter, объем будет экспоненциально увеличиваться по мере того, как$e^{\Lambda t}$, и вам придется использовать систему координат, отличную от представленной, удобную для выбора временных срезов, и вы, как это типично для пространства де ситтера, будете иметь экспоненциально возрастающее количество темной энергии в объеме, определенном таким образом.