Использование фитильного вращения для вычисления производящей функции в пространстве Минковского

Вик -вращение в пространстве-времени$x^{\mu}$подразумевает через преобразование Фурье вращение Вика в пространстве энергия-импульс$p_{\mu}$. Возможно, самый простой способ убедиться в том, что так и должно быть, — это рассмотреть интегральное представление Фурье

$$\delta^4(x)~=~\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4p}{(2\pi\hbar)^4}~\exp\left(\frac{ip\cdot x}{\hbar} \right)\tag{A}$$ дельта-распределения Дирака . Его нельзя аналитически продолжить на объемлющее комплексифицированное пространство-время. Реальная область интегрирования в лучшем случае может быть деформирована, т.е.$x^0$и$p_0$Вращения фитиля должны быть сбалансированы. См. также, например, этот и связанный с ним пост Phys.SE.

Карди обсуждает, как перейти от евклидова пространства к пространству Минковского.

Поворот Вика можно рассматривать как преобразование координат.$x' \rightarrow x$, где$x' \equiv (\tau, \vec{x}')$являются евклидовыми и$x \equiv (t,\vec{x})$относятся к пространству Минковского (предостережение см. ниже). Как указано в вопросе$\tau = \mathrm{i} t$.

Ковектор преобразуется согласно

$$\omega_\mu = \frac{ \partial x'^\nu }{ \partial x^\mu } \omega'_\nu.$$ Используя этот закон преобразования для вектора $p_\mu$мы получаем за $p_0$ $$p_0 = \frac{ \partial x'^\mu }{ \partial x^0 } p'_\mu = \frac{ \partial x'^0 }{ \partial x^0 } p'_0 = \frac{ \partial \tau }{ \partial t } p'_0 = \mathrm{i} p'_0 .$$

Теперь предостережение. Просмотр преобразования Вика как преобразования координат дает следующую метрику

$$g_{\mu\nu} = \frac{ \partial x'^\alpha }{ \partial x^\mu } \frac{ \partial x'^\beta }{ \partial x^\nu } g'_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)_{\mu\nu}$$ что в соглашениях Карди является отрицательным значением метрики Минковского.