Решение уравнения Клейна-Гордона: реальные условия поля и другие вопросы

Извините за длинный вопрос, почти весь текст представляет собой стандартный вывод решения уравнения КГ, который я включил, чтобы проиллюстрировать свои сомнения, а некоторые вопросы приведены в конце. Уравнение Клейна-Гордона

$$(\partial^2+m^2)\phi(x)=0\tag{1}$$ где$\partial^2=\partial_\mu\partial^\mu$. Используя преобразование Фурье$\phi$

$$\phi(x)=\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\phi(k)e^{ikx} \tag{2}$$

и подставляем его в уравнение, которое имеем

$$\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}(k^2-m^2)\phi(k)e^{ikx}=0\tag{3}$$

что подразумевает

$$(k^2-m^2)\phi(k)=0 \implies \phi(k)=2\pi f(k)\delta(k^2-m^2) \tag{4}$$

для некоторой функции$f$. Определять$\omega=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$где$k=(k_0, \mathbf{k}$), затем

$$\delta(k^2-m^2)=\frac{1}{2\omega}\left[\delta(k_0-\omega)+\delta(k_0+\omega)\right]\tag{5}$$

И наше решение становится

$$\phi(x)=\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}\left[\delta(k_0-\omega)+\delta(k_0+\omega)\right]f(k)e^{ikx}\tag{6}$$

выполнить интеграцию на$k_0$

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(f(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+f(-\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{7}$$

Во втором члене мы можем заменить переменную$\mathbf{k}\rightarrow-\mathbf{k}$и получить

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(f(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+f(-\omega,-\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{8}$$

Теперь: все источники, которые я могу найти, утверждают, что поле должно быть реальным, и пишут что-то вроде

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(a(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+a^\dagger(\omega,\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{9}$$

и это представлено как «общее решение уравнения Клейна-Гордона».

Вопросы:

1. Почему мы должны навязывать, что поле реально, т.е.$f(-\omega, -\mathbf{k})=f(\omega, \mathbf{k})^\dagger$? Я не вижу для этого математической причины и не понимаю, почему сложное поле может создавать физические проблемы. Я знаю об интерпретации гармонического осциллятора, но я бы сказал, что эта интерпретация является следствием того, что поле реально, а не наоборот. Почему мы отказываемся от сложных полевых решений?

2. Являются ли$2\pi$важные факторы? В уравнении$(4)$Я ввел фактор$2\pi$лишь бы итоговое решение совпадало с приведенным в стандартных источниках, но опять же, я не вижу другого повода его добавлять (собственно все "решение должно быть дельта функция умножить" немного схематично, как видеть это?)

3. Некоторые дают решение с$\sqrt{\omega}$вместо$\omega$в знаменателе (например, Peskin & Schroeder) по аналогии с гармоническим осциллятором. Чтобы попытаться получить это, я подумал об определении$a(\omega,k)=\sqrt{\omega}f(\omega,k)$вместо$a(\omega,k)=f(\omega,k)$. Имеет ли это смысл? Имеют ли два решения физическую разницу?