Фитильные вращения, сходимость и пропагаторы Фейнмана?

Два интеграла не связаны изменением контура или, по крайней мере, не связаны каким-либо очевидным образом. Это функциональные интегралы по некоторому пространству полей$V_{\mathbb{R}}=\{\phi\ |\ \phi: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}\}=:\Gamma_1$а именно (плоский) бесконечномерный контур интегрирования внутри комплексификации$V_{\mathbb{C}}=\{\phi\ |\ \phi: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{C}\}$. Отсутствует (возможно изогнутый) второй контур$\Gamma_2$в$V_{\mathbb{C}}$что даст вам другой интеграл. Поворот фитиля более тонкий, потому что он включает аналитическое продолжение в аргументах функции$\phi$которая сама является переменной интегрирования. А именно, кто-то делает что-то вроде поворота$\phi(x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$в$\phi(\pm i x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$.

Кроме того, такие интегралы, как$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(iS[\phi])$или$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S_E[\phi])$сами по себе не имеют смысла. Даже в евклидовом случае с лучшим поведением и при отсутствии отсечки УФ- и ИК-излучения какое уравнение вида

$$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S[\phi])\ =\ \frac{3}{4}$$ иметь в виду? Почему нет $\frac{\pi}{2}$или $10^{100}$пока мы на нем?

Что может иметь смысл, так это соотношения, подобные

$$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F[\phi]\ \exp(iS[\phi])}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp(iS[\phi])}$$ или $$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F[\phi]\ \exp(-S_E[\phi])}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S_E[\phi])}$$ для $suitable$функционалы $F[\phi]$. К счастью, это то, что нужно физике, например, корреляционные функции. Я думаю, что Хокинг очень математически небрежно пытается сказать следующий факт. В некоторых случаях можно понимать отношение Евклида как честный интеграл относительно a ( $\sigma$-аддитивная) вероятностная мера, а именно $$\int_{S'(\mathbb{R}^d)}\ F[\phi]\ d\mathbb{P}(\phi)\ .$$ С другой стороны, для коэффициента Минковского это невозможно сделать с $\sigma$-аддитивная комплексная мера даже для свободной теории . Впервые это заметил Кэмерон, см., например, эту статью .

Обратите внимание, что хотя евклидов импульс и 4-импульс в пространстве Минковского связаны поворотом 0-компоненты, интегралы разные. Более подробно под заменой$p^0=\mathrm{i}\,p^0_\mathrm{E}$, интеграл становится

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}p^0=\mathrm{i}\,\int\limits_{\mathrm{i}\,\infty}^{-\mathrm{i}\,\infty}\!\mathrm{d}p^0_\mathrm{E}\ne \mathrm{i}\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d}p^0_\mathrm{E} \;.$$ Предположим, вам нужно вычислить интеграл по гауссиане, тогда вы должны сделать $$\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}x\,e^{x^2}\to \mathrm{i}\,\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}x_\mathrm{E}\,e^{-x^2_\mathrm{E}}\;,$$ где левая часть сходится, а правая нет. (И вы правы, говоря, что $\varepsilon$член заставляет интеграл сходиться.)