Как понимать «аналитическое продолжение» в контексте инстантонов?

Question

Как понимать «аналитическое продолжение» в контексте инстантонов?

Физика
инстантоны
аналитичность
вращение фитиля
квантовое туннелирование
квантовая теория поля

Вейн Эльд

Так как это тонкий и интересный для меня вопрос. Я дам довольно подробное описание. Я надеюсь, что вы сможете продолжить чтение, и вам тоже будет интересно.

Для простоты далее я буду обсуждать только одномерный инстантон, то есть квантовую механику. Но вопрос относится к более общим инстантонам, таким как инстантон BPST в $SU(2)$ Теория Янга-Миллса. Начнем с простой квантово-механической задачи. $S_M=\int dt\, L_M=\int dt\,[\frac{1}{2}(\frac{dx}{dt})^2-V(x)]$ с потенциалом двойной скважины, показанным ниже:

Обозначим состояние, когда частица находится в левом и правом минимумах, как $|L\rangle$ и $|R\rangle$ , соответственно. Рассмотрим амплитуду евклидова перехода:

\begin{matrix} (1) & \underset{т \to \infty}{лим} ⟨ р | е^{- ЧАС т} | л ⟩ . \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle .\tag{1}$ В формализме интеграла по путям это

\begin{matrix} (2) & \underset{т \to \infty}{лим} ⟨ р | е^{- ЧАС т} | л ⟩ знак равно \int Д Икс е^{- \int г т [\frac{1}{2} (\frac{г Икс}{г т})^{2} + В (Икс)]}, \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle=\int\mathcal{D}x\,e^{-\int d\tau[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d\tau})^2+V(x)]},\tag{2}$ при этом все пути фиксируются на минимуме слева в начальный и минимум справа в конечное евклидово время

τ

$\tau$ . Прежде чем мы поговорим о том, как его оценить. Сначала сравним его с путевым интегралом Минковского.

\begin{matrix} (3) & \underset{т \to \infty}{лим} ⟨ р | е^{- я ЧАС т} | л ⟩ знак равно \int Д Икс е^{я \int г т [\frac{1}{2} (\frac{г Икс}{г т})^{2} - В (Икс)]} . \end{matrix}

$\lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle=\int\mathcal{D}x\,e^{i\int d t[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d t})^2-V(x)]}.\tag{3}$ Уравнение (2) можно получить формальной заменой

t = - i τ

$t=-i\tau$ в уравнении (3). Обратите внимание, что из евклидова действия

\begin{matrix} (4) & С_{Е} знак равно \int г т [\frac{1}{2} (\frac{г Икс}{г т})^{2} + В (Икс)] \end{matrix}

$S_E=\int d\tau[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d\tau})^2+V(x)]\tag{4}$ Сейчас в действии

S_{E}

$S_E$ , мы видим, что потенциал

- V (x)

$-V(x)$ , т. е. он перевернут по сравнению с оригиналом в

S_{M}

$S_M$ .

Интеграл по траекториям (2) можно вычислить с помощью метода наискорейшего спуска: расширения вокруг минимумов евклидова действия $S_E$ . Один из минимумов евклидова действия дает решение в евклидовом пространстве-времени (поскольку мы обсуждаем квантово-механическую ситуацию, евклидово пространство-время одномерно):

\begin{matrix} (5) & \frac{дельта С_{Е}}{дельта Икс} знак равно 0, \end{matrix}

$\frac{\delta S_E}{\delta x}=0,\tag{5}$ который имеет известное решение излома:

\begin{matrix} (6) & \bar{Икс} (т) знак равно танх (т - т_{0}), \end{matrix}

$\bar{x}(\tau)=\tanh(\tau-\tau_0),\tag{6}$ куда

τ_{0}

$\tau_0$ — произвольная константа, происходящая из

τ -

$\tau-$ трансляционная симметрия

S_{E}

$S_E$ . В интеграле по путям нам нужно проинтегрировать

τ_{0}

$\tau_0$ суммировать по всем переведенным путям выражения (6). Для простоты возьмем

τ_{0} = 0

$\tau_0=0$ посмотреть профиль решения. Это показано следующим образом:

.

Обратите внимание, что в пространстве-времени Минковского нет классического решения для

\begin{matrix} (7) & \frac{дельта С_{М}}{дельта Икс} знак равно 0 \end{matrix}

$\frac{\delta S_M}{\delta x}=0 \tag{7}$ с одинаковыми начальными и конечными условиями, потому что любой путь нарушит закон сохранения энергии. Теперь мы можем пойти дальше по методу наискорейшего спуска и получить в ведущем порядке:

\begin{matrix} (8) & \underset{т \to \infty}{лим} ⟨ р | е^{- ЧАС т} | л ⟩ \sim е^{- С_{Е} [\bar{Икс} (т)]} . \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle\sim e^{-S_E[\bar{x}(\tau)]}.\tag{8}$

До сих пор все в порядке. Но почему-то люди интерпретируют приведенный выше результат как скорость туннелирования от левого минимума к правому минимуму. Я знаю, что во всей этой истории есть еще кое-что. Например, можно распознать результат уравнения (8) как экспоненциальное подавление, которое можно получить при расчете ВКБ при решении стационарного уравнения Шредингера, и, следовательно, обосновать интерпретацию.

Но чаще всего я сталкиваюсь с тем, что причина, по которой мы интерпретируем уравнение (8) как скорость туннелирования, заключается в том, что мы можем продолжить его обратно к результату Минковского. Возможно, логика следующая (Обратите внимание, я вывожу эту логику из предложений, и они могут иметь в виду что-то более глубокое. Это то, что я хочу обсудить в этом посте). Поскольку действие инстантона иногда не зависит от $\tau$ , когда мы вернемся назад, формально заменим $\tau=it$ , у нас еще такое экспоненциальное подавление.

Проблема в том, что, как объясняется в ответе Qmechanic, мы никогда не можем остановиться в стационарной точке, которая является лишь частью полного евклидова интеграла по траекториям, выполнить расчет и сказать: «Посмотрите, давайте теперь продолжим результат обратно в Минковского пространство-время. На самом деле сама стационарная точка будет изменяться одновременно с поворотом времени. Когда мы возвращаемся в пространство-время Минковского, у нас вообще нет стационарной точки, если мы по-прежнему считаем, что положения являются действительными числами.

В частности, в контексте инстантонов в калибровочной теории (с взаимодействием с фермионами). Можно рассчитать следующую амплитуду перехода в инстантонном фоне калибровочного поля

⟨ 0 | 0 ⟩_{1 - я н с т}

$\langle 0|0\rangle_{1-inst}$ Из-за фермионных нулевых мод получается исчезающий результат. Чтобы получить ненулевой результат, мы должны вставить операторы Хофта, такие как

{\bar{ψ}}_{R} ψ_{L}

$\bar\psi_R\psi_L$ , то есть

⟨ 0 | {\bar{ψ}}_{р} ψ_{л} | 0 ⟩ .

$\langle 0|\bar\psi_R\psi_L|0\rangle.$

На данный момент, сейчас действительно очень часто можно увидеть, как люди говорят, что это представляет киральное нарушение в реальном пространстве-времени Минковского посредством аналитического продолжения. Но как? Как мы можем продолжить результат вблизи евклидовой стационарной точки обратно в пространство-время Минковского? Когда мы делаем продолжение, должны ли мы одновременно продолжать саму стационарную точку, т. е. продолжать евклидов инстантон в пространство-время Минковского?

В заключение, мой вопрос: как именно понимать слово «аналитическое продолжение» в этих конкретных случаях? Я считаю, что на это есть ответ в теории Пикара-Лефшеца.

( обновлено 8 марта 2021 г.) Я думаю, что на большинство моих замешательств ответили в недавней статье arXiv:1905.04236.

Ниже приводится исходный вопрос, который в настоящее время имеет относительно меньшую актуальность.

Мой вопрос касается туннельной интерпретации решения перегиба и амплитуды евклидова перехода. Люди всегда говорят, что решение излома описывает процесс туннелирования, происходящий от левого минимума в далеком прошлом к правому минимуму в далеком будущем. Эта картина для меня немного расплывчата. Вопросы

(1) Есть $\lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle=\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle$ ? Что ж, кажется, что обычно это так, если судить по грубому аргументу вращения фитиля (или я ошибся). Но даже это правда, Это совершенно не оправдано иметь

\underset{т \to \infty}{лим} ⟨ р | е^{- ЧАС т} | л ⟩_{я н с т} знак равно л е а г я н грамм о р г е р о ф \underset{т \to \infty}{лим} ⟨ р | е^{- я ЧАС т} | л ⟩

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle_{\rm inst}={\rm leading\ order\ of} \lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle$

(2) Хотя действие Минковского не содержит классического решения. Должны быть квантовые пути, которые могут нарушить закон сохранения энергии из-за принципа неопределенности. Каковы (доминирующие) квантовые пути в процессе туннелирования. Наша первая догадка может быть $\bar{x}(t)=\tanh(it)$ с формальной заменой $\tau=it$ вернуться к решению перегиба $\bar{x}(\tau)=\tanh(\tau)$ . Но $\tanh(it)$ является мнимым, поэтому нефизическим, как положение $x$ . Есть ли какая-либо интерпретация решения перегиба в пространстве-времени Минковского?

Роб

Один подход, который я не понимаю, но вы могли бы: inspirehep.net/record/1453973/files/Rug_Tehseen.pdf

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/80889/2451 и ссылки там.

Тиберий

@WeinEld Вы не должны публиковать новый вопрос в существующей ветке, на которую уже есть ответ. Если бы вы еще не разместили награду, я бы посоветовал создать новый вопрос и сослаться на этот для контекста.

Вейн Эльд

@Tyberius Спасибо за ваше предложение. Но я думаю, что это в основном моя изначальная путаница, и я просто отшлифовал ее.

Ответы (2)

Как понимать «аналитическое продолжение» в контексте инстантонов?

Один подход, который я не понимаю, но вы могли бы: inspirehep.net/record/1453973/files/Rug_Tehseen.pdf
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/80889/2451 и ссылки там.
@WeinEld Вы не должны публиковать новый вопрос в существующей ветке, на которую уже есть ответ. Если бы вы еще не разместили награду, я бы посоветовал создать новый вопрос и сослаться на этот для контекста.
@Tyberius Спасибо за ваше предложение. Но я думаю, что это в основном моя изначальная путаница, и я просто отшлифовал ее.

Qмеханик · Answer 1

TL; DR: вопрос заголовка OP (v7) об инстантонах в подписи Минковского физически бессмысленен. Это нерелевантный математический обходной путь, взбесившийся. Связь с физикой/природой устанавливается посредством вращения Вика полного евклидова интеграла по траекториям, а не его фрагментов. В рамках евклидова интеграла по траекториям можно последовательно расширять евклидовы инстантоны, но бессмысленно вращать Вику инстантонную картину до сигнатуры Минковского.

Более подробно, пусть задан двухямный потенциал

\begin{matrix} (А) & В (Икс) знак равно \frac{1}{2} ({Икс}^{2} - а^{2})^{2} . \end{matrix}

$V(x)~=~\frac{1}{2}(x^2-a^2)^2. \tag{A}$

Минковская и евклидова формулировки связаны вращением Вика .

\begin{matrix} (Б) & т^{Е} е^{я ϵ} знак равно е^{я \frac{π}{2}} т^{М} е^{- я ϵ} . \end{matrix}

$t^E e^{i\epsilon}~=~e^{i\frac{\pi}{2}} t^M e^{-i\epsilon}.\tag{B}$

Мы включили $i\epsilon$ -предписание , чтобы помочь конвергенции и избежать ветвей и сингулярностей. См. также этот пост на Phys.SE.

I) С одной стороны, евклидова статистическая сумма/интеграл по путям равна

\begin{matrix} (С) & \begin{aligned} Z^{Е} знак равно & Z (Δ т^{Е} е^{я ϵ}) \\ знак равно & ⟨ {Икс}_{ф} | опыт [- \frac{ЧАС Δ т^{Е} е^{я ϵ}}{ℏ}] | {Икс}_{я} ⟩ \\ знак равно & Н \int [г Икс] опыт [- \frac{С^{Е} [Икс]}{ℏ}], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z^E~=~&Z(\Delta t^E e^{i\epsilon})\cr ~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{H \Delta t^E e^{i\epsilon}}{\hbar}\right] | x_i \rangle \cr ~=~&N \int [dx] \exp\left[-\frac{S^E[x]}{\hbar} \right],\end{align}\tag{C}$

с евклидовым действием

\begin{matrix} (Д) & \begin{aligned} С^{Е} [Икс] знак равно & \int_{т_{я}^{Е}}^{т_{ф}^{Е}} г т^{Е} [\frac{е^{- я ϵ}}{2} {(\frac{г Икс}{г т^{Е}})}^{2} + е^{я ϵ} В (Икс)] \\ знак равно & \int_{т_{я}^{Е}}^{т_{ф}^{Е}} г т^{Е} \frac{е^{- я ϵ}}{2} {(\frac{г Икс}{г т^{Е}} \mp е^{я ϵ} \sqrt{2 В (Икс)})}^{2} \\ \pm \int_{{Икс}_{я}}^{{Икс}_{ф}} г Икс \sqrt{2 В (Икс)} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S^E[x] ~=~&\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \left[ \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\right)^2+e^{i\epsilon}V(x)\right]\cr ~=~& \int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\mp e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}\right)^2 \cr &\pm \int_{x_i}^{x_f} \! dx ~\sqrt{2V(x)}.\end{align}\tag{D}$

и настоящее решение для регулярного перегиба/противоперегиба $^1$

\begin{matrix} (Э) & \begin{aligned} \frac{г Икс}{г т^{Е}} \mp е^{я ϵ} \sqrt{2 В (Икс)} \approx & 0 \\ ⇕ \\ Икс (т^{Е}) \approx & \pm а танх (е^{я ϵ} Δ т^{Е}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{dx}{dt^E}\mp e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}~\approx~&0 \cr ~\Updownarrow~ & \cr x(t^E) ~\approx~&\pm a\tanh(e^{i\epsilon}\Delta t^E). \end{align}\tag{E}$

Заметим, что априорное пространство $x$ и время $t^E$ - действительные координаты в интеграле по траекториям (C). Чтобы вычислить евклидов интеграл по путям (C) с помощью метода наискорейшего спуска , нам не нужно усложнять ни пространство, ни время. Мы уже интегрируемся в направлении наикрутейшего спуска!

II) С другой стороны, соответствующая статистическая сумма Минковского / интеграл по путям равна

\begin{matrix} (Ф) & \begin{aligned} Z^{М} знак равно & Z (я Δ т^{М} е^{- я ϵ}) \\ знак равно & ⟨ {Икс}_{ф} | опыт [- \frac{я ЧАС Δ т^{М} е^{- я ϵ}}{ℏ}] | {Икс}_{я} ⟩ \\ знак равно & Н \int [г Икс] опыт [\frac{я С^{М} [Икс]}{ℏ}], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z^M~=~&Z(i \Delta t^M e^{-i\epsilon})\cr ~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{iH \Delta t^M e^{-i\epsilon}}{\hbar} \right] | x_i \rangle\cr ~=~& N \int [dx] \exp\left[\frac{iS^M[x]}{\hbar} \right],\end{align}\tag{F}$

с действием Минковского

\begin{matrix} (ГРАММ) & \begin{aligned} С^{М} [Икс] знак равно & \int_{т_{я}^{М}}^{т_{ф}^{М}} г т^{М} [\frac{е^{я ϵ}}{2} {(\frac{г Икс}{г т^{М}})}^{2} - е^{- я ϵ} В (Икс)] \\ знак равно & \int_{т_{я}^{М}}^{т_{ф}^{М}} г т^{М} \frac{е^{- я ϵ}}{2} {(\frac{г Икс}{г т^{М}} \mp я е^{я ϵ} \sqrt{2 В (Икс)})}^{2} \\ \pm я \int_{{Икс}_{я}}^{{Икс}_{ф}} г Икс \sqrt{2 В (Икс)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S^M[x]~=~&\int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \left[ \frac{e^{i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\right)^2-e^{-i\epsilon}V(x)\right]\cr ~=~& \int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\mp i e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}\right)^2 \cr &\pm i \int_{x_i}^{x_f} \! dx ~\sqrt{2V(x)},\end{align}\tag{G}$

и воображаемое сингулярное решение излома/антиперегиба

\begin{matrix} (ЧАС) & \begin{aligned} \frac{г Икс}{г т^{М}} \mp я е^{я ϵ} \sqrt{2 В (Икс)} \approx & 0 \\ ⇕ \\ Икс (т^{М}) \approx & \pm я а загар (е^{- я ϵ} Δ т^{М}) \\ знак равно & \pm а танх (я е^{- я ϵ} Δ т^{М}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{dx}{dt^M}\mp i e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}~\approx~&0 \cr ~\Updownarrow~ & \cr x(t^M)~\approx~&\pm i a\tan(e^{-i\epsilon}\Delta t^M)\cr ~=~&\pm a\tanh(i e^{-i\epsilon}\Delta t^M). \end{align}\tag{H}$

Обнадеживает то, что $i\epsilon$ регуляризация гарантирует, что частица начинается и заканчивается в минимумах потенциала:

\begin{matrix} (Я) & \underset{Δ т^{М} \to \pm^{'} \infty}{лим} Икс (т^{М}) знак равно (\pm а) (\pm^{'} 1) . \end{matrix}

$\lim_{\Delta t^M\to \pm^{\prime}\infty} x(t^M)~=~(\pm a) (\pm^{\prime} 1). \tag{I}$

К сожалению, это, пожалуй, единственная приятная вещь в решении (H). Заметим, что априорное пространство $x$ и время $t^M$ являются действительными координатами в интеграле по путям (F). Мы не можем напрямую применить метод наискорейшего спуска для вычисления интеграла по путям Минковского. Нам нужно последовательно деформировать контур интегрирования и/или усложнить время и пространство. Это регулируется теорией Пикара-Лефшеца и наперстком Лефшеца. В частности, роль воображаемого сингулярного решения кинк/антикинк (H) теряет свою важность, потому что мы не можем расширяться вокруг него каким-либо осмысленным образом.

--

$^1$ Явное (гиперболическое) касательное решение (E) является слишком упрощенным игрушечным решением. Это затемняет зависимость конечного начального (и конечного) времени $t^E_i$ (и $t^E_f$ ), параметры модулей и мультиинстантоны. За подробностями обратимся к литературе.

Большое спасибо за ваш ответ, и я очень сожалею о моей очень медленной реакции, чтобы прийти к картине, которую вы здесь описали. Я полностью согласен с тем, что бессмысленно (по крайней мере, в моем нынешнем понимании) продолжать отдельные фрагменты евклидова интеграла по траекториям обратно в пространство-время Минковского. Но кажется, что во многих случаях люди действительно продолжают переходные амплитуды в инстантонном фоне до результатов Минковского.
Продолжить.... Одним из конкретных результатов является нарушение барионного и лептонного числа, которое, по-видимому, получается путем продолжения евклидовой амплитуды перехода в фоновом режиме (инстантоне BPST) в пространство-время Минковского. Поскольку я принял ваше мнение, как я могу ясно увидеть, что законно продолжать результаты, полученные вокруг евклидовой стационарной точки (следовательно, усеченные и являющиеся лишь частью полного евклидова интеграла по траекториям) обратно в пространство-время Минковского?

Давид Бар Моше · Answer 2

В последние годы появилось новое понимание роли аналитического продолжения в интегралах по траекториям, см. следующую работу Виттена. Последствия этого понимания действительно захватывающие. Они позволяют, например, понять теорию Черна-Саймонса для нецелочисленных уровней (опять же Виттена ).

Методы аналитического продолжения основаны на теории Пикара-Лефшеца, которая в основном утверждает, что интеграл седловой точки может быть связан с интегралом, сходящимся по циклу в комплексифицированном пространстве. Сходящиеся циклы интегрирования известны под названием наперстки Лефшеца.

Интегрирование по сложным траекториям уже встречалось в интегралах по траекториям когерентных состояний; см., например, следующую работу Стоуна, Парка и Гарга . Эти интегралы формулируются на фазовом пространстве, которое можно рассматривать как комплексификацию конфигурационного пространства.

Что касается случая двойного колодца: см. следующую работу Чермана и Юнсала, где они рассматривают семейство аналитических продолжений времени:

т знак равно е^{я α} т 0 < α \leq \frac{π}{2}

$t = e^{i\alpha} \tau \quad0 \lt \alpha \le \frac{\pi}{2}$ (Эвклидов интеграл по траекториям соответствует частному случаю

α = \frac{π}{2}

$\alpha = \frac{\pi}{2}$ ). Для каждого значения

α

$\alpha$ они находят комплексное инстантонное решение, соответствующее действие седловой точки которого равно правильному значению. Единственная проблема заключается в том, что предел значения Минковского

α = 0

$\alpha = 0$ единственное число.

Для более подробного объяснения теории Пикара-Лефшеца и других примеров см. следующий тезис : Юя Танидзаки.

Как понимать «аналитическое продолжение» в контексте инстантонов?

Вейн Эльд

Ниже приводится исходный вопрос, который в настоящее время имеет относительно меньшую актуальность.

Роб

Qмеханик

Тиберий

Вейн Эльд

Ответы (2)

Qмеханик

Вейн Эльд

Вейн Эльд

Давид Бар Моше

Как я могу понять проблему туннелирования с помощью евклидова интеграла по путям, где квадратичная флуктуация имеет отрицательное собственное значение?

Аналитическое продолжение функции Грина мнимого времени во временной области

Вакуумная стабильность

Нахождение классического действия в задаче о туннелировании

Использование фитильного вращения для вычисления производящей функции в пространстве Минковского

Фитильные вращения, сходимость и пропагаторы Фейнмана?

Слабый гравитационный предел действия (Эйнштейна-Гильберта + материи)

Как инстантоны вызывают распад вакуума?

Пространственный интеграл Минковского Шредера - опасения по поводу вращения фитиля

Смысл воображаемого времени