Испытывает ли Земля какое-либо значительное, измеримое замедление времени в перигелии?

Мы можем рассчитать замедление времени для объекта, движущегося в гравитационном поле Солнца, используя метрику Шварцшильда. Строго говоря, это приближение, поскольку Солнце вращается, а не шарообразно, но оно даст нам довольно хороший ответ.

Метрика Шварцшильда (записывая ее в терминах собственного времени):

$$c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - \frac{dr^2}{1 - r_s/r} - r^2d\theta^2 - r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{1}$$

где$r_s$радиус Шварцшильда Солнца:

$$r_s = \frac{2GM_{Sun}}{c^2}$$

В перигелии и афелии движение тангенциальное, поэтому радиальная скорость равна нулю и, следовательно,$dr=0$. Также мы расположим наши координаты так, чтобы все движение происходило в экваториальной плоскости, поэтому$\theta=\pi/2$и$d\theta=0$. Подставляя эти значения в уравнение (1), мы обнаруживаем, что метрика значительно упрощается до:

$$c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - r^2 d\phi^2 \tag{2}$$

Если тангенциальная скорость$v$тогда угол$d\phi$переехал во времени$dt$просто:

$$d\phi = \omega dt = \frac{v}{r}dt$$

и мы подставляем это в уравнение (2), чтобы получить:

$$c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - r^2 \left(\frac{v}{r}\right)^2dt^2$$

которое мы переставляем, чтобы получить уравнение для замедления времени:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r} - \frac{v^2}{c^2}} \tag{3}$$

Согласно информационному бюллетеню НАСА, значения$v$и$r$в перигелии и афелии находятся:

$$\begin{align} r_p &= 1.4709 \times 10^{11} \,m \\ v_p &= 30290 \,m/s \\ r_a &= 1.5210 \times 10^{11} \,m\\ v_a &= 29190 \,m/s \end{align}$$

А радиус Шварцшильда Солнца равен$r_s \approx 2953$м. Подставляя эти цифры в наше уравнение (3), мы получаем:

$$\begin{align} d\tau/dt \,\text{perihelion} &= 0.99999998486 \\ d\tau/dt \,\text{aphelion} &= 0.99999998555 \end{align}$$

мы можем сделать эти числа немного более удобоваримыми, выразив их как время, потерянное за день, например, на сколько секунд в день часы на Земле идут медленнее в результате замедления времени. Если мы это сделаем, то найдем:

$$\begin{align} \text{perihelion loss} &= 1.308 \,\text{ms/day} \\ \text{aphelion loss} &= 1.248 \,\text{ms/day} \end{align}$$

И разница между ними примерно$60\mu$с в день. Так бегут часы$60\mu$с в сутки медленнее в перигелии, чем в афелии.

В принципе это легко измерить, поскольку атомные часы обладают точностью, позволяющей измерять такие небольшие сдвиги. Однако есть практические трудности. Замедление времени измеряется относительно стационарного наблюдателя вне гравитационного влияния Солнца, и мы не можем легко поместить атомные часы где-нибудь за пределами орбиты Плутона, чтобы провести сравнение. Мы могли бы вывести спутник на точно круговую орбиту со средним радиусом орбиты Земли, и в этом случае наши часы шли бы примерно$30\mu$с в сутки быстрее спутниковых часов в афелии и на столько же медленнее в перигелии.

Быстрая сноска:

Граф Иблис указывает, что пульсары служат отличными часами вне гравитационного влияния Солнца, и мы можем измерить частоты пульсаров с достаточной точностью, чтобы обнаружить$60\mu$с в сутки меняется между перигелием и афелием. Если у кого-то есть ссылка на это, не стесняйтесь редактировать ее в этом ответе.

GPS зависит от поправок к времени из общей и специальной теории относительности, потому что спутники находятся в меньшем гравитационном поле и движутся с достаточно высокой скоростью.

Поскольку наблюдатель на земле видит спутники в движении относительно них, СТО предсказывает, что мы должны видеть, что их часы тикают медленнее (см. лекцию по СТО). Специальная теория относительности предсказывает, что бортовые атомные часы на спутниках должны отставать от часов на земле примерно на 7 микросекунд в день из-за более медленного хода из-за эффекта замедления времени их относительного движения.

Кроме того, спутники находятся на орбитах высоко над Землей, где искривление пространства-времени из-за массы Земли меньше, чем у поверхности Земли. Предсказание Общей теории относительности состоит в том, что часы, находящиеся ближе к массивному объекту, будут идти медленнее, чем часы, расположенные дальше (см. лекцию о черных дырах). Таким образом, если смотреть с поверхности Земли, кажется, что часы на спутниках идут быстрее, чем такие же часы на земле. Расчет с использованием общей теории относительности предсказывает, что часы на каждом спутнике GPS должны опережать наземные часы на 45 микросекунд в день.

Комбинация этих двух релятивистских эффектов означает, что часы на борту каждого спутника должны идти быстрее, чем такие же наземные часы, примерно на 38 микросекунд в день (45-7=38)! Это звучит мало, но высокая точность, необходимая для системы GPS, требует наносекундной точности, а 38 микросекунд составляют 38 000 наносекунд. Если бы эти эффекты не были должным образом приняты во внимание, навигационная фиксация, основанная на созвездии GPS, была бы ложной всего через 2 минуты, а ошибки в глобальных позициях продолжали бы накапливаться со скоростью около 10 километров каждый день! Вся система будет совершенно бесполезна для навигации в очень короткое время.

Замедление времени — Земля и Юпитер — должно сказать вам, что соответствующие различия будут обнаружены между перигелием и афелием Земли.