История изучения лунной и марсианской поверхностной гравитации

В 1877 году были открыты два небольших спутника Марса, называемые Фобос и Деймос. Используя орбитальную механику, можно рассчитать массу Марса на основе наблюдаемого периода обращения и диаметра орбиты марсианских спутников. Используя диаметр Марса из астрономических измерений, можно рассчитать поверхностную гравитацию.

До космической эры диаметр орбит марсианских спутников, а также диаметр Марса можно было оценить только с помощью телескопов с Земли. Точность этих измерений была ограничена огромным расстоянием между Землей и Марсом.

Период обращения маленького спутника:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \\ \\ r \text{ orbital radius}, M \text{ mass of planet}, G \text{ gravitational constant}$$

Масса Луны должна быть пренебрежимо малой по сравнению с массой планеты.

Решение уравнения для массы планет:

$$M = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2G}$$

Это уравнение очень чувствительно к ошибкам орбитального радиуса из-за третьей степени и чувствительно к ошибкам орбитального периода из-за второй степени. Ошибки гравитационной постоянной менее существенны.

Поверхностная гравитация небесного тела равна:

$$g = G \frac{M}{r^2} \\ M \text{ body mass, } r \text{ body radius}$$

Небольшой скрипт на Python для расчета массы и гравитации Марса на основе данных об орбите Луны:

import numpy as np

pi = np.pi
G = 6.6743015E-11       # gravitational constant

def mass(radius, period):   # calculate planet mass using moon orbit data
    m = 4.0 * pi*pi * radius*radius*radius / ( period*period * G)
    return m

def gravity(mass, radius):  # calculate planet surface gravity from mass and radius
    g = G * mass / (radius*radius)
    return g

def days_to_seconds(days):  # calculate time in seconds from days
    return days * 24.0 * 3600.0

#orbital data for Deimos
r_Deimos = 23459E3  # orbital radius in meters
P_Deimos = days_to_seconds(1.2624)   # orbital period in seconds

#orbital data for Phobos
r_Phobos = 9378E3  # orbital radius in meters
P_Phobos = days_to_seconds(0.3189)   # orbital period in seconds

m_D = mass(r_Deimos, P_Deimos)
m_P = mass(r_Phobos, P_Phobos)

print('mass of Mars using the orbit of Deimos in kg',"{:1.3e}".format(m_D))
print('mass of Mars using the orbit of Phobos in kg', "{:1.3e}".format(m_P))

r_M_eq = 0.5*6792.4E3 # equatorial radius of Mars in meters

print()
print('gravity of Mars using the orbit of Deimos', "{:1.3f}".format(gravity(m_D, r_M_eq)))
print('gravity of Mars using the orbit of Phobos', "{:1.3f}".format(gravity(m_P, r_M_eq)))

Результаты:

mass of Mars using the orbit of Deimos in kg 6.419e+23
mass of Mars using the orbit of Phobos in kg 6.426e+23

gravity of Mars using the orbit of Deimos 3.714
gravity of Mars using the orbit of Phobos 3.718

Этот метод был использован голландскими астрономами в 1927 году для оценки массы Марса с точностью до 0,2%. Этот замечательный результат требует точности всего 0,067 % для орбитального радиуса. Для радиуса 23459 км это всего +- 15 км.

У нашей Луны нет естественного спутника, поэтому метод, использованный выше, не может быть использован для определения гравитации Луны. Но Луна не вращается вокруг центра Земли, обе вращаются вокруг своего общего центра тяжести. Это движение Земли может быть измерено и позволяет оценить отношение массы Луны к массе Земли.

Массу Земли можно рассчитать на основе измерений гравитации на поверхности и радиуса Земли. Используя приведенное выше соотношение, можно рассчитать массу Луны.

Подробнее о взвешивании Луны и измерении массы Луны .

В 1940 году было опубликовано очень точное значение, с небольшими улучшениями между 1960 и 2000 годами. Рисунок из «Измерения массы Луны».

Так что гравитацию Луны и Марса можно было оценить за десятилетия до начала космической эры, но с очень ограниченной точностью.

---

Из Википедии Пьер-Симон Лаплас :

Приливные уравнения Лапласа

В 1776 году Лаплас сформулировал единую систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных для приливного течения, описанного как баротропное двумерное плоскостное течение. Вводятся эффекты Кориолиса, а также боковое воздействие силы тяжести. Лаплас получил эти уравнения путем упрощения уравнений гидродинамики. Но они также могут быть получены из интегралов энергии с помощью уравнения Лагранжа.

Для слоя жидкости средней толщины D вертикальное приливное возвышение ζ, а также горизонтальные компоненты скорости u и v (в направлениях широты φ и долготы λ соответственно) удовлетворяют приливным уравнениям Лапласа ⁴⁶ ...

⁴⁶ Уравнения Лапласа для приливов и атмосферных приливов , Дэвид А. Рэндалл.

Смотрите также:

• Вывод уравнения приливов Лапласа из теории инерционных колебаний (CL Pekeris, 1975)
• Лекция 3: Решения уравнений Лапласа для приливов и отливов , Мирл Хендершотт
• 11. Приливные уравнения Лапласа на сфере.
• Уравнения приливов Лапласа

Отвечая на ваш первый абзац:

Но вычислил ли уже Ньютон, что гравитация Луны составляет примерно одну шестую от земной?

Его расчеты были ошибочными. Principia Mathematica , том 3, предложение XXXVII : «Найти силу Луны, приводящую в движение море». Следствие 1 находит отношение силы Солнца на приливы к силе Луны на приливы. Следствие 2 находит отношение силы Луны на приливы к силе тяжести Земли. Следствие 3 находит отношение плотностей Луны и Земли:

поэтому плотность Земли относится к плотности Луны как 4891 к 4000, или как 11 к 9. Следовательно, тело Луны более плотное и земное, чем сама Земля.

Он делает аналогичное заявление ранее (предложение VII, следствие 3: «Луна плотнее Земли, как выяснится впоследствии»). Но он ошибался; средняя плотность Луны 3346 кг/м$^3$и Земли 5515 кг/м$^3$.

Следствие 4 находит отношение массы Луны к массе Земли:

масса вещества на Луне будет относиться к веществу массы Земли как 1 к 39 788.

Опять же, он неправ. Фактическое массовое отношение составляет около 81,3.

Наконец, в следствии 5 он сравнил ускорение поверхности под действием силы тяжести:

А ускорение силы тяжести на поверхности Луны будет примерно в три раза меньше, чем ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Фактическое значение составляет около 1/6, а не 1/3. Однако, учитывая, что все расчеты Ньютона были получены на основе наблюдений с использованием телескопов того времени, это не так уж и плохое приближение.

Согласно статье в журнале NASA ADS « Измерение массы Луны »:

Можно видеть, что лунная масса была известна примерно с точностью +/- 50 % между 1687 и 1755 годами, +/- 10 % между 1755 и 1830 годами, +/- 3 % между 1830 и 1900 годами, +/- 0,15 % между 1900 и 1900 годами. 1968 г. и +/- 0,0001% с 1968 г. по настоящее время [2002 г.].

В 1900 году размер и расстояние до Луны были определены с высокой точностью , что в сочетании с массой дало хорошую оценку гравитации лунной поверхности.

Этот ответ действительно длинный комментарий: он не отвечает на вопрос как таковой, а скорее рассказывает вам о некоторых способах, которыми вы, вероятно, не можете конкретно измерить массу Луны, но с интересным следствием.

Заманчиво сказать: ну, гравитация Луны должна измениться.$g$на Земле: можем ли мы это измерить? Что ж, давайте предположим, что Луна и Земля сферически-симметричны (это будет большой проблемой), и посмотрим, каковы различия. Хорошо:

$$\begin{align} g_0 &= \frac{GM}{R^2}&&\text{$M,R$ mass, radius of Earth resp.}\\ g_{+} &= \frac{GM}{R^2} + \frac{Gm}{(r + R)^2}&&\text{$m,r$ mass, distance of Moon resp.}\\ g_{-} &= \frac{GM}{R^2} - \frac{Gm}{(r - R)^2} \end{align}$$

А дальше интересно посчитать

$$\frac{\Delta g}{g} \equiv \frac{g_{+} - g_{-}}{g_0}$$

Что говорит вам, насколько точно вам нужно измерить$g$чтобы иметь возможность обнаружить Луну.

Ну, если вы сделаете этот расчет, вы получите$\Delta g / g \approx 6.7\times 10^{-6}$: вы должны быть в состоянии измерить$g$до нескольких частей на миллион, чтобы вообще увидеть влияние Луны, и намного лучше, чем это, чтобы получить разумную оценку массы Луны.

И выше я сделал большое неправильное предположение: что Земля и Луна сферические. Что ж, Земли нет, и ее форма меняется в зависимости от того, где находится Луна, и, что еще хуже, океаны сложным образом изменяются в зависимости от того, где находится Луна. И все эти вещи меняются$g$. К сожалению, измерение массы Луны таким способом безнадежно.

Но но. Могли бы вы вообще обнаружить, что Луна была там таким образом? Один из подходов состоял бы в том, чтобы иметь какое-то устройство, которое измеряло бы$g$, в течение длительных периодов времени, а затем посмотрите, сможете ли вы увидеть периодические изменения в$g$что соответствовало Луне.

Ну, такое устройство называется часами: маятниковые часы чувствительны к$g$, а если бы вы сделали действительно хорошие маятниковые часы, «услышали бы» они Луну? Ответ: да, будет. А в 1986 году кто-то по имени Boucheron проделал этот эксперимент: они записали ход очень хороших маятниковых часов (Shortt номер 41) в течение почти года, а затем они были проанализированы сначала Boucheron, а затем Филипом Вудвордом. И если вы посмотрите на частотный спектр часов, вы можете очень четко увидеть ряд всплесков, которые соответствуют Солнцу и Луне.

К сожалению, у этого замечательного эксперимента есть две проблемы:

• вам нужно иметь возможность измерять ход часов с помощью чего-то более точного, чем часы — это было возможно в 1986 году с использованием атомных часов, но невозможно, когда эти часы были лучшими часами, которые когда-либо существовали;
• часы могут «слышать» Луну, но не различают изменение$g$из-за прямого гравитационного воздействия Луны и из-за приливов и деформации Земли.

Об этом эксперименте сообщает в свое время Филип Вудворд, в котором есть ссылки на оригинальные статьи (которые я не читал).

Итак, в заключение: измерение массы Луны путем измерения$g$было неправдоподобно, когда это был один из способов измерения массы Луны, потому что необходимая точность была слишком велика.