Вариационное исчисление — как имеет смысл независимо изменять положение и скорость?

В отличие от вашего вопроса, это неправда , что скорость меняется независимо от положения. Вариант положения$q \mapsto q + \delta q$вызывает изменение скорости$\partial_t q \mapsto \partial_t q + \partial_t (\delta q)$как и следовало ожидать.

Единственное, что может показаться странным, это то, что$q$а также$\partial_t q$рассматриваются как независимые переменные лагранжиана$L(q,\partial_t q)$. Но это не удивительно; в конце концов, если вы спросите: «Какова кинетическая энергия частицы?», то недостаточно знать положение частицы, вам также нужно знать ее скорость, чтобы ответить на этот вопрос.

Другими словами, вы можете выбрать положение и скорость независимо в качестве начальных условий , поэтому функция Лагранжа рассматривает их как независимые; но вариационное исчисление не изменяет их независимо , изменение положения вызывает подходящее изменение скорости.

Ответ на ваш главный вопрос уже дан - вы не меняете координацию и скорость самостоятельно. Но кажется, что ваша основная проблема заключается в использовании координаты и скорости в качестве независимых переменных.

Позвольте мне сослаться на эту замечательную книгу: «Прикладная дифференциальная геометрия». Уильям Л. Берк . Самая первая строчка книги (где автор обычно говорит, кому посвящена эта книга) такова:

Правда, время от времени студенты задают этот вопрос. Но попытки объяснить это «сверху вниз», как правило, просто приводят к все большему количеству вопросов. Действительно, нужно навести математический порядок в теме «снизу вверх». Что ж, как следует из названия книги, нужная математическая дисциплина — дифференциальная геометрия .

Я не могу пересказать все подробности, но вкратце это выглядит так:

• Вы начинаете с пространства конфигурации$M$вашей системы.$M$является (дифференцируемым) многообразием и$q$– координаты на этом многообразии.
• Далее идет определенная процедура, позволяющая сложить все возможные «скорости» в каждой заданной точке$M$. И вы приходите к касательной связке $TM$, которое также является многообразием, и ($q$,$\dot{q}$) — разные координаты на нем.
• Лагранжиан – это функция на$TM$.

Учитывая то, что написал Грег Гравитон, я напишу вывод и посмотрю, смогу ли я его понять.

где S — действие, а L — лагранжиан. Варьируем путь и находим экстремум действия:

Здесь q и$\dot q$варьируются независимо. Но затем на следующем шаге мы используем это тождество,

И вот где связь между q и$\dot q$входит в картину. Я думаю, что здесь происходит то, что q и$\dot q$изначально рассматриваются как независимые, но затем эта независимость снимается тождеством.

А затем следует остальная часть вывода. Интегрируем второе слагаемое по частям:

и выражение в квадратных скобках равно нулю, потому что конечные точки зафиксированы. И тогда мы можем вывести уравнение Эйлера-Лагранжа:

Теперь это имеет больше смысла для меня. Вы начинаете с того, что считаете переменные независимыми, но затем удаляете независимость, накладывая условие во время вывода.

Я думаю, это имеет смысл. Я ожидаю, что в целом другие проблемы можно лечить таким же образом.

(Я скопировал приведенные выше уравнения из « Механики » Ландау и Лифшица.)

Вот мой ответ, который в основном представляет собой расширенную версию ответа Грега Гравитона.

Вопрос о том, почему можно рассматривать положение и скорость как независимые переменные, возникает при определении лагранжиана$L$себя, прежде чем использовать уравнение движения и прежде чем думать об изменении действия$S:=\int_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t \ L$, и поэтому не имеет ничего общего с вариационным исчислением.

I) С одной стороны, рассмотрим сначала роль лагранжиана. Пусть задан произвольный, но фиксированный момент времени$t_0\in [t_i,t_f]$. (Мгновенный) лагранжиан$L(q(t_0),v(t_0),t_0)$является функцией как мгновенного положения$q(t_0)$и мгновенная скорость$v(t_0)$в данный момент$t_0$. Здесь$q(t_0)$а также$v(t_0)$являются независимыми переменными. Обратите внимание, что (мгновенный) лагранжиан$L(q(t_0),v(t_0),t_0)$не зависит от прошлого$t<t_0$ни будущее$t>t_0$. (Можно возразить, что профиль скорости$\dot{q}\equiv\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$является производной профиля позиции$q:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$, так как же$q(t_0)$а также$v(t_0)$быть действительно независимыми переменными? Дело в том, что, поскольку уравнение движения имеет 2-й порядок, можно сделать 2 независимых выбора начальных условий: 1 начальное положение и 1 начальную скорость.) Мы можем повторить это рассуждение для любого другого момента времени.$t_0\in[t_i,t_f]\,.$

II) С другой стороны, давайте рассмотрим вариационное исчисление. Функционал действия

с соответствующими граничными условиями приводит к уравнению Эйлера-Лагранжа (EL) , которое является уравнением движения (EOM) .

III) Обратите внимание, что

является полной производной по времени, а не явной производной по времени$\frac{\partial}{\partial t}$, так что уравнение ЭЛ (3) действительно является обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) 2-го порядка,

Чтобы решить путь$q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$, следует задать два начальных условия, например,

Хотя верно, что функция$\dot{q}(t)$является производной функции$q(t)$время, это не правда, что значение$\dot{q}$вообще не связано со значением$q$в данный момент времени, поскольку значение — это просто число, а не функция. Действие является функционалом$q(t)$, так что нет смысла варьировать действие как по$q$а также$\dot{q}$. Но лагранжиан$L(q,\dot{q})$является функцией значений$q$а также$\dot{q}$, а не функционал функций$q(t)$а также$\dot{q}(t)$. Мы можем продвигать$L$функцией времени, если мы подключим$q(t)$а также$\dot{q}(t)$вместо того, чтобы просто$q$а также$\dot{q}$. (Помните, что функционал превращает функцию в число, например,$S[q]$, тогда как функция превращает значение в число, например,$L(q,\dot{q})$.

Чтобы решить для$q(t)$мы экстремизируем действие$S$, требуя, чтобы он был экстремальным в каждой точке,$t$. Это эквивалентно решению уравнений Эйлера-Лагранжа в каждой точке$t$. Так как в любой момент$t$ценности$q$а также$\dot{q}$независимы, их можно варьировать независимо.

Производная функции$f(t)$это функция$\dot{f}(t)$вообще отличается от$f$, и в общем случае они даже не зависят линейно, что легко увидеть, если взять разложение Тейлора. Только после того, как вы определите с ними дифференциальные уравнения, они будут связаны алгебраически, что и делает вариационное исчисление.

Если у нас есть функция$f(x,v)$, частные производные определяются формулой

Говоря более физическими терминами, вспомним, что наша цель в лагранжевом формализме — вычислить правильный путь в конфигурационном пространстве между двумя фиксированными точками. Путь характеризуется местоположением и скоростью в каждый момент времени. Мы максимально общие и рассматриваем действительно все возможные пути. Это означает, что мы рассматриваем все возможные пары местоположений и скоростей. Физический классический путь особенный по двум причинам:

• это решение уравнения Эйлера-Лагранжа (= экстремум действия)
• местоположения и скорости в каждый момент времени связаны соотношением$v \equiv \frac{dq}{dt}$. (Если хочешь,$v \equiv \frac{dq}{dt}$это второе уравнение, которое нам нужно в лагранжевом формализме, аналогично тому, как есть два уравнения Гамильтона в гамильтоновом формализме. Второе уравнение Гамильтона определяет канонический импульс как производную от лагранжиана. Для общих траекторий в фазовом пространстве возможно любое сочетание местоположения и импульса. Только для физического классического пути мы находим канонические значения импульса, которые задаются как соответствующая производная лагранжиана.)

Хотя все ответы, кажется, охватывают все детали, я просто добавлю свое лечение для тех, кто разделяет мои взгляды и может найти его полезным.

Полезно разбить символ частной производной (в уравнении Эйлера-Лагранжа) на две разные части. На самом деле у нас есть два разных уравнения, объединенных в одно уравнение. Если$L(x,v,t)$тогда

Априори у вас есть 3 независимых координаты$(x_1, x_2, x_3)$указать положение и 3 независимые координаты$(v_1,v_2,v_3)$чтобы указать вектор в этой позиции. Всего у вас есть 6 независимых координат$(x_1,x_2,x_3,v_1,v_2,v_3)$который может принимать любое значение, которое вам нравится. Эти координаты означают, что есть вектор$(v_1, v_2, v_3)$на позиции$(x_1,x_2,x_3)$.

Тогда лагранжиан является функцией этих координат$(x_1,x_2,x_3,v_1,v_2,v_3)$. Априори все эти координаты могут принимать любые значения, поэтому они считаются независимыми. Затем уравнение Лагранжа Эйлера каким-то образом связывает эти 6 координат. В настоящее время$x$'песок$v$становятся зависимыми через это отношение. Как только вы получите соотношение между этими координатами, вы подставите$v_i = \dot x_i$так как путь$x_i(t)$в координатном пространстве будет соответствовать пути$(x_i(t), \dot x_i(t))$в пространстве, на котором определен лагранжиан. Итак, в целом у вас есть два разных отношения между$x$'песок$v$, один из которых вы получаете из уравнения Эйлера-Лагранжа, а другой вводите вручную (а именно$v_i = \dot x_i$). Вы можете использовать эти соотношения, чтобы получить дифференциальное уравнение для$x_i(t)$который позволяет вам получить путь.

Итак, вы можете видеть, что$x$'песок$v$здесь действительно независимы. Тогда как$x$'песок$\dot x$явно зависимы. Если вы меняетесь$x(t)$по$\delta x(t)$,$\dot x(t)$изменится соответственно. Вы можете проверить, что мы используем этот факт при выводе уравнения Эйлера-Лагранжа из первого принципа. Путаница возникает из-за того, что в конечном выражении кажется, что мы считаем их независимыми, но на самом деле мы просто рассматриваем их как независимые в этом выражении. Так что если$\dot x$скорость для вас, то она никогда не считается независимой от$x$(только что так рассматривалось в уравнении Эйлера-Лагранжа). Но если$v$для вас скорость, то она справедливо считается независимой от$x$.

Изменить: в целом символ$v$определяется как _$\dot x$. В моей трактовке это просто еще один символ, обозначающий компонент любого вектора. Мы не изобретаем новый символ для обозначения скорости$\dot x$.