Изменение потенциала во времени порождает «силу»?

Вы должны понимать, как работают потенциалы и как они соотносятся с силами. Это не так просто, как сказать, что информация распространяется со скоростью света. Как я покажу ниже, потенциал может измениться мгновенно везде (но это не значит, что информация распространяется быстрее скорости света.

Начнем с уравнений Максвелла:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho(\mathbf{x},t)}{\epsilon_o} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_o \mathbf{J} + \mu_o \epsilon_o \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

С$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$мы можем написать$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$где$\mathbf{A}$представляет собой векторное поле, которое мы называем векторным потенциалом. Используя это в третьем уравнении Максвелла, мы можем написать:

$$\nabla \times \left(\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=0$$

поскольку мы можем свободно менять ротор и частную производную во времени, поскольку они независимы. Затем, используя тот факт, что ротор градиента равен 0, мы определяем скалярный потенциал V как:

$$\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\nabla V \\ or\\ \mathbf{E} =-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\nabla V$$

Вы заметите, что до сих пор мы использовали только второе и третье уравнения Максвелла. И у нас есть скалярный и векторный потенциал, который может дать электрическое и магнитное поле. Но полученные нами выражения для потенциалов требуют предварительного знания полей, подлежащих оценке. Чтобы обойти это, мы теперь будем использовать оставшиеся первое и четвертое уравнения Макса. Делая замены на$\mathbf{E}$и$\mathbf{B}$с точки зрения$\mathbf{A}$и V в этих уравнениях получаем:

$$-\nabla^2 V -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{A}) = \frac{\rho}{\epsilon_o}\\ and\\ \left(\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_o \epsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}\right)-\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A} + \mu_o \epsilon_o \frac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_o \mathbf{J}$$

Итак, у нас есть эти два УЧП, которые содержат всю информацию об уравнениях Макса. Думаю, можно сказать, что они представляют собой интегральную форму уравнений Макса. Возможно, вы уже устали. Но не волнуйтесь, мы идем к этому. Чтобы решить эти неприятные УЧП, нам нужно сделать выбор калибровки.

Итак, прежде чем я смогу показать вам, как вы должны думать о потенциале из-за изменения распределения заряда, я должен поговорить о датчиках. Существует нечто, называемое калибровочной свободой, что в основном означает, что эти УЧП не определяют однозначно потенциалы. На самом деле вы можете добавить градиент любой скалярной функции к векторному потенциалу и вычесть его частную производную по времени из скалярного потенциала без изменения полей. Это означает, что вы можете выбрать значение$\nabla \cdot \mathbf{A}$быть равным 0 (кулоновская калибровка) или$-\mu_o\epsilon_o \frac{\partial V}{\partial t}$(Калибровка Лоренца) между прочим (другие манометры).

Итак, давайте поработаем с кулоновской калибровкой, потому что она проиллюстрирует мою точку зрения. Настройка$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$в первом УЧП получаем:

$$\nabla^2 V = -\frac{\rho(\mathbf{x}', t)}{\epsilon_o}$$

которые вы можете решить, используя функции Грина, чтобы получить:

$$V(\mathbf{x},t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \frac{\rho(\mathbf{x}', t)}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|} d^3 \mathbf{x}'$$

Итак, вы видите, что потенциал в$\mathbf{x}$вовремя$t$зависит от плотности заряда при$\mathbf{x}'$вовремя$t$. Итак, изменение распределения заряда немедленно везде обновит скалярный потенциал. Вы можете быть обеспокоены тем, что это нарушит причинно-следственную связь. Но этого не произойдет, потому что векторный потенциал зависит от времени, в отличие от скалярного, и для вычисления поля (а это единственная измеряемая величина) нужен векторный потенциал. Таким образом, хотя изменение плотности заряда на поверхности может влиять на движущуюся заряженную частицу в клетке Фарадея (она не блокирует магнитные поля), нельзя говорить о градиентах скалярного потенциала из-за временной зависимости, как вы подразумеваете ( по крайней мере в кулоновской калибровке).