Я думаю, что это скорее комментарий, потому что я не думаю, что действительно понимаю ваш вопрос, но он длинный, поэтому я опубликую его как ответ. Я удалю, если будет похоже, что я был совершенно не в том направлении.

То, как вы объясняете вопрос, не имеет смысла с тем, как я думаю о QFT.$\phi$является полем с операторным значением. Пространство, которое$\phi$работает в гильбертовом пространстве, и мы на самом деле не говорим, что пространственно-временные точки в гильбертовом пространстве разделены пространственно-подобно или нет, потому что они не являются пространственно-временными точками; они являются точками в гильбертовом пространстве.

Теперь позвольте мне сделать несколько замечаний об обозначениях. Точки в гильбертовом пространстве обычно представляются кетами. Давайте напишем ваш$f$и$g$как$|f\rangle$и$|g \rangle$. Это более стандартная запись. Чтобы написать операцию$\phi$на кет мы обычно используем сопоставление, поэтому мы будем писать$\phi |f\rangle$. Чтобы выразить зависимость от$\phi$в координатах пространства-времени мы используем круглые скобки. Итак, оператор$\phi$в точке пространства-времени$x$будет написано$\phi(x)$.

Утверждение «локальность», к которому я привык (я бы назвал его причинностью), на самом деле является операторным уравнением$\phi(x) \phi(y) = \phi(y) \phi(x)$в любое время$x$пространствоподобно отделено от$y$. Другой способ записи уравнения:$[\phi(x), \phi(y)]=0$.

Возможно, вы имеете дело с более сложным понятием КТП, где$\phi$поле на$C{^\infty _0 }_{real}$. Так ли это? Это главное, что меня интересовало.

В любом случае, ваш вопрос заключается в том, как мне понять, что означает, что две пространственно-временные точки разделены подобно пространству. Вот связанный с этим вопрос на этом веб-сайте, и я также могу отослать вас к статье в Википедии. Чтобы две точки были пространственно разделены, они должны находиться вне светового конуса друг друга. См. ссылки для получения дополнительной информации.

Если поля действительно должны быть определены на$C{^\infty _0 }_{real}$, то я не знаю, как должны выглядеть опоры, потому что у меня нет опыта в этом. Я полагаю, что говоря, что опоры пространственно-подобны, просто означает, что есть все пары точек, по одной в каждой опоре, которые пространственно-подобно разделены.

Редактировать

Хорошо, я прочитал PDF и увидел, что он сделал. он использует$\phi(f)$как сокращение для$\int \phi(x) f(x) dx$. Я думаю, он предпочитает иметь дело с$\phi(f)$над$\phi(x)$потому что он пытается быть математически строгим, и это$\phi(f)$обозначение будет удобным для этой цели.

Во всяком случае его$[\phi(f),\phi(g)]=0$состояние эквивалентно моему$[\phi(x),\phi(y)]=0$состояние.

Чтобы увидеть прямое значение, возьмите$f(x')=\delta(x'-x)$и$g=\delta(y'-y)$. Затем$f$и$g$пространственноподобно разделены, если$x$и$y$являются. Таким образом, если$x$и$y$пространственно-подобно разделены, то$[\phi(f),\phi(g)]=0$, с другой стороны,$\phi(f)=\int \phi(x') f(x') dx'=\int \phi(x') \delta(x'-x) dx' = \phi(x)$и аналогично$\phi(g)=\phi(y)$. Таким образом, мы имеем это$[\phi(x),\phi(y)]=0$.

Чтобы получить обратное направление, см.

$$[\phi(f),\phi(g)]=[\int \phi(x') f(x') dx',\int \phi(y') g(y') dy']=\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy$$ . Сейчас если $f$и $g$пространственноподобно разделены, то единственные времена, когда $f(x')$и $g(y')$оба отличны от нуля, когда $x'$и $y'$пространственноподобно разделены, но тогда $[\phi(x'),\phi(y')]=0$, поэтому делаем вывод, что $\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy=0$. Это доказывает другое направление.

Таким образом, чтобы получить интуитивное представление о том, что он имеет в виду, достаточно просто подумать об этом состоянии в отдельных точках. Вы можете прочитать часть ответа над правками, чтобы увидеть, что означает, что две точки разделены пространством. Я предполагаю, что, чтобы быть математически строгим, ему нужно сформулировать условно формально в терминах этого$\phi(f)$.

Нет, не изображайте световые лучи. Тестовая функция предназначена для небольшого удара, поддерживаемого рядом с каким-либо событием.

Для свободных скалярных полей особенно полезно придумать тестовую функцию$f(x,t) = \delta_{t_0}(t) \psi(x)$, где$\delta_{t_0}$является некоторым гладким приближением к дельта-функции и$\psi$является волновой функцией. В этом частном случае оператор$\phi(f)$действует на гильбертово пространство, создавая частицу, волновая функция которой во времени$t_0$является$\psi$.

В более общем смысле тестовая функция является источником для ваших полей. Этот принцип дает некоторую помощь, когда вы имеете дело с калибровочными полями (где вы должны связываться с сохраняющимися токами, которые не могут быть полностью локализованы).