Пространство состояний взаимодействующих теорий

Для простейшего случая взаимодействия, квадратичного, взаимодействующее представление есть, грубо говоря, фоковское, но с другой массой (неэквивалентность представлений с разными массами доказана во втором томе книги Рида-Саймона).

За$(\varphi^4)_3$, с пространственной отсечкой$g(x)$, конструкция несколько сложнее (и можно доказать, что она не зависит от выбора пространственной отсечки ).

Позволять

$$\Lambda_\sigma(g)=\bigl\lVert H_0^{-1}\textstyle\int :\varphi^4_\sigma:(x)g(x)d^2x\; \Omega\bigr\rVert\; ,$$ куда $\Omega$вакуум Фока, $:\varphi^4_\sigma:$взаимодействие с УФ отсечено. Существует семейство одевающих преобразований $T_{\varrho\sigma}(g)$такое, что для любого $\psi,\psi'\in C_0^{\infty}(N,k)$(обозначим через $C_0^{\infty}(N,k)$множество векторов конечных частиц с компактным носителем в импульсном пространстве) существует для любого $\varrho,\varrho'\geq0$предел: $$\lim_{\sigma\to\infty}\langle T_{\rho\sigma}(g)\psi,T_{\rho'\sigma}(g)\psi'\rangle e^{-\Lambda_{\sigma}(g)}=:\langle T_{\rho\infty}(g)\psi,T_{\rho'\infty}(g)\psi'\rangle_g\; .$$ Скалярное произведение $\langle\cdot,\cdot\rangle_g$вместе с линейным пролетом $D(g)$из $\{T_{\varrho\infty}(g)\psi, \psi\in C_0^{\infty}(N,k),\varrho\geq 0\}$является предгильбертовым пространством, пополнение которого $F(g)$есть сепарабельное гильбертово пространство взаимодействующей теории (с пространственным обрезанием). Очевидно, что соответствующее асимптотическое пространство LSZ является обычным фоковским представлением $H_0$.

Чтобы провести сравнение между свободной и интерактивной теорией, вы можете отметить следующее. Считается (но, насколько мне известно, не доказано), что$F(g)$является нефоковским, т. е. не унитарно эквивалентным какому-либо фоковскому представлению (очевидно, неэквивалентному исходному свободному, как предсказывает теорема Хаага; в любом случае, как я сказал выше, фоковские представления с разными массами неэквивалентны). Если это так, то вы уже можете видеть конкретную разницу между двумя представлениями, в любом случае несколько запутанное определение$F(g)$не помогает провести детальное сравнение (к тому же форма преобразования повязки весьма сложна). Тем не менее формулы редукции LSZ и вообще теория рассеяния могут быть определены и в этом контексте с помощью так называемой теории рассеяния Хаага — Рюэля; Вы можете найти более подробную информацию, а также библиографические ссылки в третьем томе книги Рида-Саймона.