Как быстро понизится температура тела в космосе?

Вот быстрое и грязное приближение:

Приблизить человека с водной сферой радиуса$r$. Предположим, что кровообращение поддерживает однородную температуру тела, а кожа не дает воде выкипать (это нереально, но я подумал, что это та ситуация, о которой вы думали). Если мы предположим, что сфера является абсолютно черным телом, потери тепла из-за теплового излучения определяются законом Стефана-Больцмана:

$$P_r=\sigma T^4\cdot A=\sigma T^4\cdot 4\pi r^2$$

где$T$это температура воды и$A$это площадь поверхности шара. Скорость изменения температуры будет равна:

$$\frac{dT}{dt}=-\frac{P_r}{mC}=-\frac{P_r}{\rho VC}=-\frac{3P_r}{4\pi r^3\rho C}=-\frac{3\cdot\sigma T^4\cdot 4\pi r^2}{4\pi r^3\rho C}=-\frac{3\sigma T^4}{r\rho C}$$

где$m$масса шара,$C$- удельная теплоемкость воды,$\rho$это плотность воды и$V$это объем шара. Отсюда получаем дифференциальное уравнение вида:

$$\frac{dT}{dt}=-\frac{3\sigma T^4}{r\rho C}$$

Если мы делаем анзац:

$$T(t)=a(t+b)^n$$

и подставляем в приведенное выше уравнение, получаем:

$$an(t+b)^{n-1}=-\frac{3\sigma a^4(t+b)^{4n}}{r\rho C}$$

который дает:

$$n-1=4n\Rightarrow n=-\frac{1}{3}$$

и

$$an=-\frac{3\sigma a^4}{r\rho C}\Rightarrow a=\left(-\frac{nr\rho C}{3\sigma}\right)^\frac{1}{3}=\left(\frac{r\rho C}{9\sigma}\right)^\frac{1}{3}$$

Если мы предположим$r$составляет 0,5 м, получаем:

$$a=\left(\frac{0.5\cdot 1000 \cdot 4200}{9\cdot 5.67\cdot 10^{-8}}\right)^\frac{1}{3}\approx 1.6\cdot 10^4$$

Следовательно, T изменится как:

$$T(t)=1.6\cdot 10^4(t+b)^{-\frac{1}{3}}$$

Если предположить, что температура при$t=0$является$37$градусов С, что примерно$310 K$, Вы получаете:

$$310=1.6\cdot 10^4b^{-\frac{1}{3}}\Rightarrow b=\left(\frac{1.6\cdot 10^4}{310}\right)^3\approx 1.38\cdot 10^5$$

который дает:

$$T(t)=1.6\cdot 10^4(t+1.38\cdot 10^5)^{-\frac{1}{3}}$$

Здесь я построил временную эволюцию температуры в соответствии с этой формулой:

Как видите, для застывания сферы требуется примерно 65000 с (почти 18 часов). Это явно что-то из худшего сценария. Я не учел влияние тепла, выделяемого человеческим телом, входящего (солнечного) излучения, несовершенной излучательной способности, возможной изоляции и т. д. Это может увеличить время охлаждения или даже предотвратить охлаждение, в зависимости от предположений.

Ответ jkej хорош. Я добавлю к обсуждению с помощью числового программного обеспечения. Вот синтаксис Maple, который решает уже обсуждавшееся уравнение.

dsolve({diff(T(t),t)=-alpha*T(t)^4,T(0)=T0}) assuming alpha>0, T0>0;

Ответ:

$$T(t) = \left( 3 \alpha t + T_0^3 \right)^{-\frac{1}{3}}$$

Это согласуется с другим ответом. Для справки,$\alpha=1/(3 a^3)$. Так как у нас есть значение для$a$мы можем получить альфу тривиально. Теперь давайте попробуем это с производством тепла! Это решение следующего дифференциального уравнения.

$$\frac{d T}{dt} = - \alpha T(t)^4 + \beta$$

Поскольку время ограничено бесконечностью, мы ожидаем, что функция выровняется при$(\beta/\alpha)^{1/4}$. Если принять, что тепловыделение равно 100 Вт, то:

$$\beta = \frac{P_p}{m C} = \frac{ 100 W}{( 1 \frac{g}{cm^3}) \frac{4}{3} \pi (0.5 m)^3 (4,186 \frac{J}{kg K} ) } = 4.56 \times 10^{-5} \frac{K}{s}$$

$$T_{\infty} = \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^{1/4} = \left( 3 \beta a^{3} \right)^{\frac{1}{4}} = 153.8 \text{ Kelvin}$$

Синтаксис для решения дифференциального уравнения:

dsolve({diff(T(t),t)=-alpha*T(t)^4+beta,T(0)=T0});

Получение ответа в согласованном формате требует некоторой борьбы с алгеброй. Для упрощения я собрал термины, чтобы вставить рассчитанную ранее конечную температуру. Тогда «решение» дифференциального уравнения:

$$0 = -4 t \beta+ T_{\infty} \ln{ \left( \frac{T(t)+T_{\infty}}{T(t)-T_{\infty}} \frac{T_0-T_{\infty}}{T_0+T_{\infty}} \right) } + 2 T_{\infty} \left( \arctan{ \frac{T(t)}{T_{\infty}} } - \arctan{ \frac{T_0}{T_{\infty}} } \right)$$

Это должно быть решено на каждом временном шаге. Вот что я произвел:

Срок пока примерно тот же. Говорить особо не о чем интересном. Следует отметить, что масса космонавта получается примерно равной$520 kg$, что довольно нереально. Это главный фактор в том, что временные рамки такие длинные, как они есть.

На приведенном выше графике астронавт замерзает примерно через 11 часов. В то время как необходима некоторая поправка на радиационную площадь, подверженную воздействию космоса, линейный размер космонавта превышает метр по вертикали, поэтому поправки есть в обоих направлениях. Хотя эффективная радиационная площадь, вероятно, все еще должна быть пересмотрена в сторону уменьшения, она не будет сравниваться с пересмотром в сторону уменьшения массы. Так на практике вы замёрзнете раньше. Может быть, вы замерзнете через 4 часа или около того. Вы будете в коме при 31 градусе C , что при линейной интерполяции занимает всего около 13% времени, или 39 минут. Гипотермия должна длиться всего 12-13 минут. Потеря надежды, возможно, раньше.

Это заставило меня задуматься: если вы застряли в космосе, свернитесь в позу эмбриона, чтобы не так быстро излучать тепло.

---

Я понял, что приведенный выше график технически неверен. После того, как он пересекает точку замерзания, производство тепла прекращается. Потому что ты был бы мертв.