Как доказать, что симметричный тензор действительно является тензором?

Тензор - это не конкретное понятие, связанное с относительностью (см., например, тензор напряжения ), а более общее понятие, описывающее линейные отношения между объектами, не зависящие от выбора системы координат .

Эта независимость от координат приводит к закону преобразования, который вы даете, где$\Lambda$, это просто преобразование между координатами, которое вы делаете. В специальной теории относительности это преобразование Лоренца, но в классической физике это может быть простое вращение. Дело в том, что тензор сохраняется независимо от изменения координат.

Поэтому, чтобы показать, что что-то является тензором, вам просто нужно показать, что оно подчиняется уравнению преобразования и что ваш преобразованный ответ по-прежнему является действительным результатом и может быть преобразован обратно в исходный, выполнив обратное преобразование.

Наш профессор определил ранг$(k,l)$тензор как то, что преобразуется подобно тензору

О, Боже. Все слишком банально и слишком педагогически ошибочно.

Тензор — это не что иное, как линейная карта (возможно, нескольких копий) векторного пространства (и, возможно, копий его двойственного пространства) в скалярное поле.

Если я дам вам компоненты$T_{\mu\nu}$(всего 16 компонентов) в определенной системе координат/основе, то вы можете преобразовать любые два вектора в скаляр с ее помощью. Просто рассмотрите компоненты вектора в той же системе координат и сокращайте индексы:$T(\vec{v},\vec{w}) = T_{\mu\nu} v^\mu w^\nu \in \mathbb{R}$. Кроме того, эта карта линейна по построению. Итак, тензор. Ничего не нужно проверять.

Однако бывает так, что иногда вы одновременно записываете компоненты (якобы) одного и того же объекта в двух разных системах координат. Например, у вас есть выражения для всех 16$T_{\mu\nu}$и еще 16$T_{\mu'\nu'}$. Если вы все сделали правильно и последовательно, и вас не обманули намеренно вводящей в заблуждение задачкой из учебника, эти наборы компонентов должны быть соотнесены с помощью любого закона преобразования, который обычно переводит вас из нештрихованных координат в штрихованные. Поэтому может быть хорошей идеей проверить, что это выполняется. Но это всего лишь проверка на вменяемость.

Кроме того, кто-то мог только что вручить вам$T_{\mu\nu}$и$T_{\mu'\nu'}$и спросил "это компоненты одного и того же объекта, только в разных системах координат?" Затем вы также можете применить преобразование для проверки. Если это не работает, это не значит, что у вас нет тензора. Скорее, у вас есть два разных тензора.

Если я правильно понимаю, вы спрашиваете, как доказать, что симметрия тензора не зависит от координат, но у вас, похоже, проблемы с определением тензора. Что ж, ты не первый. Позвольте мне дать вам определение, которое может помочь.

Во-первых, предположим, что у вас есть некоторое пространство (это может быть трехмерное пространство, пространство-время или что-то еще) и набор координат.$\{x^i\}$определено на нем. Допустим, у вас есть частица, движущаяся в вашем пространстве по траектории, заданной выражением$x^i = x^i(t)$. Здесь$t$это просто параметр. Вы можете найти компоненты скорости в вашей системе координат:$u_x^i(t) = dx^i/dt$. (Я использую индексы для маркировки систем координат.) Теперь вот что:

Предположим, вы вычисляете скорость в другой системе координат$\{y^i\}$; это было бы$u_y^i(t) = dy^i/dt$. Но если вы знаете координаты$y^i$как функция координат$x^j$, вы можете узнать, как связаны две скорости:

$$u_y^i(t) = \frac{dy^i(x)}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \frac{d x^j}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} u^j_x(t)$$

Я использовал цепное правило и тот факт, что$y^i$являются функциями$x^j$.$\partial y^i / \partial x^j$будут иметь разные свойства в зависимости от координат. В евклидовом трехмерном пространстве мы обычно используем декартовы координаты и поэтому$\partial y^i / \partial x^j$будет матрицей вращения; в специальной теории относительности это было бы преобразование Лоренца и так далее. В общей теории относительности мы используем все виды координат, и преобразования в общем случае не будут линейными.

Итак, теперь мы знаем, как изменяется скорость частицы (или, как сказали бы математики, касательный вектор к кривой) при изменении координат. Часто полезно рассматривать такой вектор как объект$\vec{u}$который не зависит от координат. На самом деле вся эта история с законами преобразования и соглашением Эйнштейна — это способ убедиться, что вещи не зависят от координат. Компоненты вектора (или тензора) будут зависеть от координат, но если все преобразуется одинаково, уравнения, составленные из тензоров, будут иметь одинаковую форму в разных системах координат.

Теперь мы можем определить векторы в общем, попросив, чтобы они имели тот же закон преобразования, что и скорости:

Вектор _ $\vec{X}$это функция, которая присваивает набор чисел (называемых его компонентами)$X_x^i\ (i = 1\dots n)$каждой системе координат$\{x^i\}$, такой, что если$\{x^i\}$и$\{y^i\}$две системы координат, составляющие$X$связаны

$$X_y^i = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} X_x^j$$

Примечание: то, что я определил, технически является векторным полем, а не простым вектором. Здесь это не принципиальное различие. Кроме того, я ограничиваюсь координатными базами для простоты.

По сути, это то же самое, что и определение «множество чисел, которое преобразуется вот так», но я считаю его немного более ясным и явным в отношении того, что есть вещи.

Тензор можно определить как нечто, что преобразуется как произведение векторов: если мы возьмем два вектора$\vec{u}$и$\vec{v}$и определите (зависящее от координат) количество$T_x^{ij} = u^i_x v^j_x$, то в двух разных системах координат находим (определяя$\Lambda^i_{\ j} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j}$):

$$T^{ij}_y = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x$$

Следуя определению вектора, мы можем определить$(2,0)$тензор$T$(не обязательно произведение векторов, как указано выше) как функция, которая присваивает набор чисел$T^{ij}_x$для каждой системы координат, так что компоненты в двух разных системах подчиняются указанному выше закону преобразования.

Теперь давайте перейдем к вашему вопросу. Вы спрашиваете, как доказать, что симметричный тензор является тензором, но это тавтологический вопрос, потому что симметричный тензор, очевидно, является тензором! Я подозреваю, что на самом деле вопрос заключается в следующем. Вы определили симметричный тензор как тензор, обладающий свойством$T^{ij} = T^{ji}$. Это правильное определение, но оно априори зависит от координат. Мы хотели бы доказать, что если приведенное выше тождество верно в одной системе координат, то оно верно и во всех них.

Итак, давайте предположим, что в некоторых координатах$\{x^i\}$бывает что$T_x^{ij} = T_x^{ji}$для всех$i,j$. Позволять$\{y^i\}$быть произвольной системой координат. Затем

$$T_y^{ij} = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{lk}_x = \Lambda^j_{\ l} \Lambda^i_{\ k} T^{lk}_x = T_y^{ji}$$

Чтобы получить второе равенство, я использовал это$T_x^{kl} = T_x^{lk}$, чтобы получить третье равенство, я передвинул$\Lambda$s вокруг, и в первом и последнем равенствах я использовал закон преобразования для тензора. Итак, мы выяснили, что если тензор симметричен в какой-то системе координат, то он симметричен и в любой системе координат. Поэтому имеет смысл говорить, что симметрия — это свойство тензора, а не его представление в той или иной системе координат.

Последнее замечание: как вы сказали, тензор с двумя индексами можно представить в виде матрицы. Производные преобразования$\partial y^i / \partial x^j$также может быть представлено в виде матрицы. Эти матрицы имеют разные значения! Тензор — это независимый от координат объект, и его матрица изменится, если вы измените координаты. Преобразование определяется только между определенной парой систем координат. Если у вас есть матрица$\Lambda^i_{\ j}$относительные координаты$x$и$y$как выше, нет смысла спрашивать, что$\Lambda$похоже на координаторы$z$. Таким образом, хотя симметричный тензор имеет симметричную матрицу ($A^T = A$), а матрица вращения ортогональна ($A^{-1} = A^T$), эти свойства не связаны друг с другом.